2014-02-09
450
Некоторые приложения производной
Теорема 4.1.1. (Лагранж). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и имеет конечную производную хотя бы в интервале ] a, b [, то в этом интервале найдется, по крайней мере, одна точка с такая, что
= f' (с) (a < c < b).
При исследовании функций может появиться необходимость нахождения предела дроби 
, числитель и знаменатель которой при х ® а стремятся к нулю или бесконечности. Нахождение таких пределов называют раскрытием неопределённостей соответствующего вида. Основой его является правило Лопиталя, выражаемое следующей теоремой.
Теорема 4.3.1. Если функции f (x) и j (x) дифференцируемы в окрестности точки х = а, обращаются в нуль в этой точке и существует предел отношения 
при х ® а, то существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных:
= 
.
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение производной функции.
2. Каков геометрический и физический смысл производной функции?
3. Приведите уравнение касательной к линии.
4. Какова зависимость между зависимостью и дифференцируемостью? Докажите Ваше утверждение.
|
|
|
5. Сформулируйте и докажите основные правила дифференцирования.
6. По какому правилу находится производная сложной функции? Докажите ваши утверждения.
7. Сформулируйте теорему Лагранжа.
8. В каких ситуациях применяется правило Лопиталя? Сформулируйте его.
Тема: Производная функции
1. Пользуясь определением производной, найти производные функций:
1) у = с, 2) у = х, 3) у = х 2, 4) у = 
, 5) у = sin x.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на указанном отрезке:
1) y = 
, x Î [
,
], 2) y = 
, x Î [-1,1].
3. Найти максимум и минимум функции:
1) у = 
+ 
, 2) y = e x + e- x, 3) у = cos2 x – 2sin x.
4. Найти угол наклона касательной к параболе у = х 2 – 2 х + 5 в точке, абсцисса которой х = 0,5.
5. В какой точке касательная к параболе у = – х 2 + 2 х – 3 наклонена к оси О х под углом 00?
6. Написать уравнение касательной к кривой у = + х + ln x в точке с абсциссой х 0 = 1.
