2014-02-09
729
Числовые характеристики случайной величины.
Решение многих практических задач не требует знания исчерпывающих характеристик случайной величины, каковыми являются законы распределения, а достаточно знания их основных числовых характеристик. Таких характеристик две. Первая характеристика указывает положение случайной величины на числовой оси и называется «математическим ожиданием». Её механическим аналогом для дискретной случайной величины служит центр тяжести системы из конечного числа материальных точек известных масс, распределённых определённым образом на числовой оси. При этом суммарная масса всех точек должна быть равна единице.
Пусть дискретная случайная величина задана своим рядом распределения:
| Х | Х1 | Х2 | ……. | хn |
| Р(х) | Р1 | Р2 | ……. | Рn |
Тогда математическое ожидание определится формулой:
Если с. в. принимает бесконечное, но счётное число значений, то формула примет вид:
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины наз. сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.
|
|
|
Механическим аналогом математического ожидания для непрерывной случайной величины служит центр тяжести тонкого прямого стержня конечной длины, размещённого определённым образом на числовой оси, закон изменения линейной плотности которого известен и масса которого равна единице.
Пусть непрерывная с.в. принимает свои значения из промежутка 
числовой оси, плотность распределения которой на этом промежутке задана функцией f(x). Тогда её математическое ожидание выразится формулой:
Отметим свойства математического ожидания с. в. Х.
1. М(С)=С, если С – константа;
2. M(CX)=CM(X);
3. M(X
Y)=M(X)M(Y), Х и У – случайные величины;
4. M(XY)=M(X)M(Y);
5. M(aX+b)=aM(X)+b, здесь: а и в – константы;
6. М(Х-М(Х)) = 0.
Пример. Производится 5 выстрелов из орудия. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р=0,6. Найти математическое ожидание числа попаданий (среднее число попаданий).
