Пусть функция определена в некоторой окрестности точки Z. Функция дифференцируема в точке Z, если существует предел.
Этот предел называется производной функции в точке Z. Функция дифференцируемая в каждой точке области D и имеющая в этой области непрерывную производную называется аналитической в области D.
Функция аналитическая в точке, если является аналитической в некоторой окрестности точки Z0.
Для того чтобы функция была аналитической в области D, необходимо и достаточно одновременное существование в этой области непрерывных частных производных функций удовлетворяющим условиям Коши-Римана:
(1.2)
При выполнении условий (2) производная может быть вычислена по одной из формул
(1.3)
Для аналитических функций правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций комплексной переменной такие же, как для функций действительной переменной, что иллюстрирует следующий пример. Пример 3, Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции является дифференцируемой и аналитической на всей комплексной плоскости Z:
|
|
Таким образом,