Поле многопроводной линии. Метод зеркальных отображений

Заданы n длинных проводов, расположенных параллельно проводящей плоскости (над землею). Радиусы проводов , высоты подвесок …, межосевое расстояние …, при этом h>>R, d>>R. По­тенциалы проводов … известны (рис. 9).

На основании второго следствия из теоремы единственности заменим проводящую среду (землю) диэлектриком с , а поверхностные заряды земли – системой зеркальных зарядов проводов с противоположными знаками. Смещением электрических осей пренебре­гаем, так как по условию h>>R.

Расчет параметров поля в произвольной точке n может быть выполнен по методу на­ложения, то есть результирующие параметры поля могут быть най­дены как суммы соответ­ствующих составляющих от независимого действия осевых зарядов самих проводов и их зер­кальных отображений:

.

Потенциал на поверхности первого провода:

Аналогично для каждого провода:

первая группа формул Максвелла.

Здесь обозначены:

- собственные потенциальные коэффици­енты;

… - взаимные потен­циальные коэф­фициенты.

Потенциальные коэффициенты определяются через геометрические раз­меры, они все­гда положительны, имеют физическую размерность [1/Ф].

Если заданы потенциалы проводов , …, то их заряды , … мо­гут быть опре­делены из совместного решения системы потенциальных уравне­ний (первой группы формул Максвелла):

вторая группа формул Максвелла.

Здесь приняты обозначения:

- собственные емкостные коэффициенты, всегда положи­тельны,

- взаимные емкостные коэффициенты, всегда от­рицательны.

На практике более удобно пользоваться формулами Максвелла третьей группы с час­тичными ёмкостями:

третья группа формул Максвелла.

Здесь обозначены:

, … - напряжения между соответствующими элементами схемы (рис. 10).

Частичные емкости определяются через емкостные коэффициенты второй группы формул.

Метод расчета полей многопроводных линий, основанный на применении второго следствия из теоремы единственности, получил название метода зер­кальных отображений.

Рассмотрим применение данного метода к расчету рабочей емкости двух­проводной линии, расположенной над поверхностью земли. Если провода ли­нии питаются от незазем­ленного источника, то можно принять для первого про­вода , для второго про­вода . Тогда получим:

Напряжение между проводами:

Откуда следует формула рабочей емкости линии с учетом влияния земли:

[Ф/м].

Если линия расположена достаточно высоко над поверхностью земли (h>>d), то D 2 h и уравнение для рабочей емкости превращается в уравнение , которое было получено ранее для двухпроводной линии без учета влияния земли.

9. Электрическое поле трехфазной линии электропереда чи

Геометрические размеры в поперечном сечении линии электропередачи несравнимо малы по сравнению с длиной электромагнитной волны на частоте 50 Гц (). По этой причине волновые процессы в поперечном сече­нии линии могут не учитываться, а по­лученные ранее соотношения для много­проводной линии в статическом режиме с большой степенью точности могут быть применены к расчету поля линий электропередач перемен­ного тока на промышленной частоте f = 50 Гц. Изменяющиеся по синусоидальному закону потенциалы проводов ЛЭП по отношению к параметрам поля можно считать квазистатиче­скими или медленно изменяющимся, и расчет параметров поля для каждого момента времени можно выполнять по полученным ранее уравнениям электростатики.

При синусоидальном законе изменения потенциалов и зарядов проводов формулы Максвелла можно записать в комплексной форме:

.

Потенциалы проводов ЛЭП равны соответствующим фазным напряже­ниям и опреде­ляются генератором.

Для трехфазных ЛЭП применяются различные варианты расположения проводов в пространстве. На рис. 11 приведены два из них: а) по вершинам рав­ностороннего треугольника, б) в одной плоскости, параллельной поверхности земли. В первом варианте равны расстояния между проводами (), но не равны их высоты над землей (). Во втором варианте не равны расстояния между проводами (), но равны их вы­соты над землей (). Таким образом, в воз­душных трехфазных ЛЭП не может быть достигнута полная симметрия проводов в про­стран­стве. Потенциальные коэффициенты , которые определяются через геометриче­ские расстояния, будут несимметрич­ными в формулах первой группы формул Максвелла. Несимметрия потенциальных коэффи­циентов вызо­вет несимметрию зарядов проводов и соответствующую несиммет­рию зарядных токов линии в режиме хо­лостого хода. Полная сим­метрия проводов в пространстве достигается только в кабельных линиях.

Для устранения несимметрии фаз воздушных линий электропередачи че­рез равные расстояния (обычно через 1/3 длины) производят круговую переста­новку или транспозицию проводов (рис. 6). При наличии транспозиции усред­ненные значения параметров линии полу­чаются одинаковыми для всех фаз, при этом несимметрия между началом и концом линии устраняется.

Средние значения потенциалов коэффициентов для транспонированной линии:

где ; ; - среднегеометриче­ские зна­чения рас­стояний.

Потенциальное уравнение для провода фазы А транспонированной линии получит вид:

Из полученного выражения следует формула для удельной емкости фазы ЛЭП на землю:

[Ф/м].

Если длина линии равна l, то эквивалентная емкость фазы на землю со­ставит С _ф= С ₀ l, а ток холостого хода линии будет равен I ₀ = U_ф / X_C = U_фwC.

Исследуем, как будет изменяться напряженность электрического поля в произвольной точке n в поперечном сечении линии (рис. 12а) в интервале вре­мени одного периода.

Результирующий вектор напряженности поля будет равен геометри­ческой сумме отдельных составляющих:

.

Расчеты показывают, что в интервале времени одного периода вектор будет изме­няться по модулю и по направлению и за один период опишет эллип­совидную фигуру (рис. 12б). Таким образом, электрическое поле в поперечном сечении ЛЭП является вращаю­щимся, но не круговым, эллиптическим по форме. Максимальное значение этого вектора соот­ветствует большой по­луоси эллипса. На рис. 13 представлена графическая диаграмма при y = 1м = const для ЛЭП с расположением проводов в плоскости, параллель­ной поверхности земли. Анализ диаграммы показывает, что абсолютный максимум этой функции имеет место с внешней стороны крайних проводов ЛЭП, а под средней фазой на­пряженность поля меньше, чем под крайними фазами.

диаграмма при y = 1м = const для ЛЭП с расположением проводов в плоскости, параллельной поверхности земли. Анализ диаграммы показывает, что абсолютный максимум этой функции имеет место с внешней стороны край­них проводов ЛЭП, а под средней фазой напряженность поля меньше, чем под крайними фазами.

Т2. Электрическое поле постоянного тока

1. Законы электрического поля в интегральной и дифференциальной формах

Под электрическим током проводимости i понимается движение свобод­ных зарядов в проводящей среде γ под действием сил электрического поля . Ток проводимости в каж­дой точке среды характеризуется вектором плотности:

[А/м²].

Направление вектора совпадает с направлением положительных заря­дов. Ток, протекающий через произвольную площадку s, связан с вектором уравнением: .

Выделим мысленно в проводящей среде, где протекает ток, элементарный цилиндр длиной dl с основанием ds так, чтобы вектор был направлен вдоль оси цилиндра (рис. 14).

Ток, протекающий вдоль цилиндра:

.

Напряжение между концами цилиндра:

,

где - вектор напряженности электрического поля, под действием которого возни­кает ток.

Сопротивление цилиндра, как проводника:

,

где γ – удельная проводимость среды [См/м].

Сопротивление цилиндра по закону Ома:

.

Приравнивая правые части равенств, получим:

		- уравнение закона Ома в дифференциальной форме

Мощность, выделяемая в цилиндре по закону Джоуля:

, откуда

[Вт/м³] - уравнение закона Джоуля в дифференциальной форме, которое характеризует интенсивность выделения энергии вокруг рас­сматриваемой точки.

Если внутри цилиндра окажутся источники энергии, создающие дополни­тельную составляющую напряженности поля (напряженность поля сторон­них сил), то и закон Ома в дифференциальной форме получит вид:

.

Как известно, выражение первого закона Кирхгофа в интегральной форме имеет вид:

.

Выразим каждый из токов через вектор плотности тока :

.

Преобразуем полученное уравнение по теореме Остроградского-Гаусса:

, следовательно:

- уравнение первого закона Кирхгофа в дифференциальной форме.

Из этого уравнения следует вывод, что линии вектора непрерывны и замк­нуты.

Интегральная форма уравнения 2-го закона Кирхгофа для контура, не со­держащего источников ЭДС, имеет вид:

.

Выразим каждое из напряжений через вектор напряженности поля : , и преобразуем полученное уравнение по теореме Сто­кса: .

Последнее уравнение справедливо для любого направления, следова­тельно:

- уравнение второго закона Кирхгофа в дифференциальной форме.

Из этого уравнения следует вывод, что электрическое поле постоянного тока без­вихревое, потенциальное и в каждой точке может быть описано потен­циальной функцией согласно уравнению:

.

Преобразуем уравнение первого закона Кирхгофа:

, откуда следует: или - уравнение Лапласа для электрического поля посто­янного тока.

На границе раздела двух сред с различными проводимостями и вы­делим точку и окружим ее элементарной призмой, у которой высота бесконечно мала по сравнению с линейными размерами оснований (рис. 15а).

Применяя первый закон Кирхгофа, получим:

.

Откуда следует, что - на границе раз­дела двух сред с различными проводимостями равны нормальные составляю­щие вектора плотности тока .

Окружим точку элементарным прямоугольником (рис. 15б), у которого вы­сота беско­нечно мала по сравнению с длиной. Применяя второй закон Кирхгофа к контуру прямо­угольника, получим:

.

Откуда следует, что - на границе раздела двух сред с различными проводимостями и равны тангенциальные со­ставляющие вектора на­пряженности поля .

Разделим почленно левые и правые части полученных уравнений и учтем, что и , в итоге получим:

- условие преломления линий поля на границе раздела двух сред с различными проводи­мостями и .