Способ Лежандра

Основан на теореме Лежандра, согласно которой в сферическом и плоском треугольнике с соответственно равными длинами сторон каждый угол сферического треугольника больше соответствующего угла плоского треугольника на одну треть сферического избытка. Сферический избыток любой фигуры определяется формулой

где Р – площадь фигуры; R – радиус сферы.

Площадь треугольника может быть вычислена по одной из формул

; ;

,

где: a, b, c – длины сторон треугольника, а A, B, C - его углы, лежащие против соответствующих сторон (против стороны a лежит угол А и т. д.), - полупериметр треугольника.

Заметим, что для максимально возможных в триангуляции I класса длин сторон в 60 км имеем сферический избыток не более 8,5², что является малой величиной и его вычисления можно выполнять с четырьмя значащими цифрами. А формула для его вычисления может быть записана в виде

,

где величина может быть принята для территории Республики Беларусь постоянной и равной f = 2,530 × 10^-9 (если длины сторон выражать в метрах).

По способу Лежандра можно решать любое число треугольников, для чего вначале необходимо на схеме сети определить последовательность их решения, в соответствии с которой пронумеровать треугольники. При этом удобнее через А_i обозначать угол, лежащий против исходной (или вычисленной из предыдущего треугольника) стороны, а угол C_i - против стороны, смежной с последующим решаемым треугольником.

Решение треугольников ведется последовательно (от номера 1 до n) по единой схеме. В триангуляции вычисления ведутся следующим образом:

1. По теореме синусов плоской тригонометрии выполняют приближённое решение треугольника, с контролем вычисляют длины сторон b_i, c_i

(i = 1, 2, 3,…, n)

Для этой цели достаточно углы треугольника округлять до целых минут, вычисления вести с четырьмя значащими цифрами.

2. Вычисляются сферические избытки треугольников по формуле

3. Для каждого треугольника вычисляется одна треть сферического избытка и вычитается из измеренных углов треугольников, в результате получают измеренные плоские углы. В триангуляции I-2 классов вычисления ведут с округлением до 0,01^//.

4. Вычисляются невязки в треугольнике, и вычитается одна треть их из каждого угла, получают уравненные плоские углы.

5. По исходной стороне и уравненным плоским углам последовательно решают с контролем по теореме синусов треугольник, в результате чего получают искомые длины сторон. Значения длин сторон округляют до 0. 001 м., с той же точностью должны совпасть контрольные вычисления стороны c_i.

6. Приступают к решению следующего треугольника по той же схеме, при этом производим замену обозначений смежной стороны c_i = a_i+1.

При решении треугольников трилатерации следует иметь в виду, что в каждом треугольнике измерены длины сторон, необходимо вычислить сфероидические углы. Подготовительные действия выполняют аналогично триангуляции. Последовательность решения треугольников определяется также.

1. По теореме косинусов плоской тригонометрии вычисляют все три угла треугольника

(i = 1, 2, 3, …, n)

2. Вычисляют сферические избытки треугольников,

3. Сферические углы треугольников получают путём добавления к плоским углам А¢, В¢, С¢ одной трети сферического избытка.

Результаты вычислений необходимо оформить в виде таблицы