Метод градиента

Метод градиента

Устройств и систем методами направленного поиска.

Характеристика оптимизации электромеханических

В курсе лекций изучаются и исследуются методы и алгоритмы направленного поиска оптимальных проектных решений: градиентного, случайного и покоординатного поиска и рассматривается их применение при параметрической оптими­зации ГД.

Для решения задач параметрической оптимизации ЭМУС находят широкое применение методы направленного поиска.

В отличие от пассивного поиска для этих методов характерно:

1) целенаправ­ленное движение в области изменения параметров оптимизации от худшего вари­анта к лучшему;

2) при этом направление поиска последующей точки определяется местоположением предыдущей, т. е. конкретный вариант объекта проектирования, в частности при проектировании ЭМУС – вариант, например, гироскопического электродвигателя системы управления летательным аппаратом или генератора системы электроснабжения, определяется, кроме всего прочего, предыдущим вариантом.

Методы направленного поиска позволяют суще­ственно уменьшить затраты на определение экстремума функции цели по сравне­нию с методами пассивного поиска.

В то же время для методов направленного поиска характерно:

1) более сложные алгоритмы поиска по сравне­нию с методами пассивного поиска;

2) они поз­воляют определить приближение лишь к локальному экстремуму функции цели в допустимой области изменения параметров оптимизации;

3) процесс поиска ими существенно затрудняется при наличии ограничений.

Необходимо более подробно рассмотреть алгоритм этих методов.

В основе метода градиента, как и других градиентных методов, лежит организация движения изображающей точки в направлении градиента (антиградиента) функции цели Q, который определяется соотношением

,

(2.19)

где – единичный вектор по оси x_i.

По определению градиент это вектор направление, которого совпадает с направлением, в котором функция возрастает с наибольшей скоростью, а модуль определяется совокупностью частных производных по переменным.

Алгоритм метода градиента укрупнённо состоит из следующих основных этапов:

1) Выбирается точка начала поиска. В отличие от методов пассивного поиска в этом случае поиск должен начинаться из некоторой точки в области допустимых значений па­раметров S. Необходимость выполнения этого требования объяс­няется тем, что вычисление градиента Q может оказаться не­возможным вне области S, так как нарушения некоторых ограни­чений приводят к изменению математических моделей объекта или отдельных параметров. Для математического описания ЭМУС, в том числе и для ГД, характерно отсутствие явновыраженных зависимостей функции цели от параметров, поскольку функ­циональные зави­симости для показателей объекта проектирования

(2.20)

имеют неявновы­раженный характер. Поэтому на практике используется численный ме­тод определения градиента grad Q, в соответствии с которым даются малые приращения d x_i каждому нормированному параметру в отдельности и в резуль­тате расчётов определяются соответствующие приращения функции цели d Q_i. Тогда выражение (2.19) преобразуется к виду

(2.21)

то есть частные производные заменяются отношениями приращений. Понятно, что число обращений к модели объекта проектирования возрастает с увели­чением размерности области поиска n.

2) Нормируются изменяемые параметры. Поиск экстремума функции цели в области нормированных параметров позволяет, во-первых, преодолеть разнородность параметров оптимизации, во-вторых, от­строиться от несопоставимости пределов их изменения. Нормирование параметров осуществляется по соотношению

(2.22)

3) Осуществляется поиск внутри допустимой области изменения параметров с рабочим шагом h. Для совершения очередного k -го шага в направлении гради­ента Q параметры объекта проектирования (координаты изображающей точки) преобразуются следующим образом:

.

(2.23)

где – коэффициент пропорциональности, определяющий величину рабочего шага по i -му параметру.

4) На каждом рабочем проверяются ограничения и наличие улучшения значение функции цели. Если при выполнении очередного шага нарушаются ограничения или не уда­ется улучшить значение функции цели, первоначально заданная величина рабо­чего шага уменьшается, как правило, в 2 раза, и действия по определению координат изображающей точки, проверке ограничений и определению зна­чения Q повторяются снова.

5) Деление рабочего шага продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто улучшения значения функции цели или не будет выполнено условие окончания поиска. Это условие состоит в следую­щем: если в выбранном в некоторой точке направлении на удаётся выполнить рабочий шаг, дающий улучшение функции цели и по значению превышающий некоторое положительное заранее задан­ное малое число e, соответствующее, нап­ример, нормированному значению отрезка разбиения в методах пассивного поиска, то поиск считается закончен­ным. Минимальная величина рабочего шага e будет в данном слу­чае характеризовать точность приближения к точке, соответствую­щей экстремуму Q в пространстве параметров. Таким образом, условие окончания поиска следующее:

,

(2.24)

В случае действия ограничений поиск заканчивается при первом выходе на границу области допустимых значений параметров S.

Особенности реализации алгоритма метода градиента состоят в следующем:

1) в организации численного вычисления градиента Q, для чего надо n раз определить значение приращения Q при изменениях параметров d x_i, i=1,2,…, n.

2) точность приближения к локальному экстремуму харак­теризуется объёмом e-окрестности, которая представляет собой п -мерный параллелепипед, и определяется следующим образом:

,

(2.25)