т.е.
где
Определение. Подмножества называются событиями и предполагается, что известны утверждения "исход " или "исход ".
Операции с событиями: объединение (или ), пересечение (или ), разность , отрицание . Пустое множество обозначено ; достоверное событие – ; ; .
Определение. Алгебра – это такая система подмножеств , что
1)
2) если и , то , , .
Примеры: , , .
Определение. Разбиение – система множеств называется разбиением множества , если
1) ,
2) ,
3)
События называются атомами разбиения.
Если взять элементы , и всевозможные объединения атомов, то получим алгебру , порожденную разбиением .
Разбиение мельче (), если .
Каждому элементарному событию , "припишем" меру (вес) называемую вероятностью исхода , если выполнены условия
1) (неотрицательность)
2) (нормированность).
Тогда для любого события определим вероятность по формуле
Определение. Тройка , где пространство элементарных событий , – некоторая алгебра подмножеств , вероятностная мера определяет конечное вероятностное пространство (вероятностную модель).
Свойства вероятности:
1)
2)
3)
4) ,
если , то
5)
Пример 1. Биномиальное распределение.
n-кратное подбрасывание монеты с результирующим набором или , .
Припишем
где . Корректность следует из того, что если , то и
т.е.
Если , то .
Набор называется биномиальным распределением.
Пример 2. Случайное блуждание.
.
Определение. Условной вероятностью события при условии с называется
В классическом случае
Свойства условной вероятности:
1)
2)
3)
4) при
5) при ,
следовательно, .
Пусть – разбиение и пусть и, следовательно, , Следовательно, верна
формула полной вероятности:
Если и , то . Отсюда получаем
формулу Байеса:
Если – разбиение с , то очевидна
теорема Байеса:
Определение. События и называются независимыми, если
Определение. Алгебры и называются независимыми, если попарно независимы любые два множества и .
Определение. Множества – называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если для любого
Алгебры множеств называются независимыми в совокупности, если независимы любые множества , .
Из попарной независимости не следует независимость в совокупности.
Пример. , , , , , но , , .
Пусть – вероятностное пространство с конечным числом исходов, – алгебра всех возможных подмножеств .
Определение. Всякая числовая функция , определенная на конечном пространстве элементарных событий , называется (простой) случайной величиной.
Пример.
OO | OP | PO | PP | |
-2 | ||||
… | … | … | … | … |
Пусть – все возможные значения ,
(очевидно, ), и пусть – совокупность подмножеств .
На вероятность индуцирована – по формуле , , и определяется по формуле , .
Определение. Набор - называется распределением вероятностей случайной величины .
Пример. Биномиальная случайная величина с n+1 значениями с вероятностями , .
Определение. Пусть . Функция называется функцией распределения случайной величины , если
Наряду со случайными величинами рассматриваются случайные вектора (пусть здесь – вектора-столбцы) , – распределения вероятностей случайного вектора .
– функция распределения случайного вектора .
Определение. Случайные величины – независимы (т.е. независимы в совокупности), если для любого
или, что то же самое
для любых .
Если и – независимые случайные величины, то для имеет место формула свёртки
Пусть – конечное вероятностное пространство, – некоторая случайная величина со значениями в . Пусть , . Тогда
где – индикаторная функция, – разбиение.
Справедливо следующее
Определение. Математическим ожиданием (или средним) случайной величины называют число
или
или
Заметим, что в элементарном (конечном) случае (из равенства интегралов Лебега-Стильтьеса и Римана-Стильтьеса в данном случае)