Логическое моделирование

При логическом моделировании используют раздел математической логики, называемый алгеброй логики (исчислением высказываний или булевой алгеброй). В алгебре логики изучаются отношения между дискретными двузначными величинами, т. е. величинами, которые могут принимать одно из двух возможных значений. Эти возможные значения обозначают цифрами 1 и 0 или соответственно словами «истина» и «ложь».

Подобные величины можно отождествлять с разного рода высказываниями, если в высказываниях представляет интерес только факт их истинности или ложности. Эти величины и операции над ними называют булевыми переменными и булевыми (логическими) операциями.

Примерами булевых переменных (при обозначении высказываний символом х) могут служить следующие высказывания:

«условие работоспособности по параметру выполняется», которое может быть истинным или ложным (в первом случае надо записать х = 1, во втором — х = 0);

«сигнал на входе устройства есть» будет истинным (х = 1) при приходе сигнала, ложным (х = 0) — при его отсутствии;

«контакты реле замкнуты»; «вал имеет с левого торца фаску»; «резервуар наполнен» и т. п.

Отношения между булевыми переменными выражаются булевыми функциями, которые также могут принимать значения только из множества {1, 0}. Булевы функции выражают сложные высказывания, например: «ТЗ выполнено, если выполнены все n условий работоспособности». Обозначая выполнение ТЗ символом у, а выполнение условия работоспособности = 1, 2,..., n, можно заметить, что у есть функция аргументов .

В данном случае имеем дело с булевой функцией, называемой конъюнкцией, символ конъюнкции — . Итак, функция принимает значение 1 тогда и только тогда, когда все аргументы истинны: . К основным булевым функциям кроме конъюнкции относят дизъюнкцию и отрицание. Операция дизъюнкции обозначается символом . Функция принимает значение 1, если значение 1 имеет хотя бы один из аргументов, ,..., . Операция отрицания одноместная, т. е. выполняется над одним аргументом и обозначается чертой над х. Функция всегда принимает значение, противоположное значению аргумента, т. е. у = 1 при х = О и у = 0 при х = 1.

В качестве примера применения алгебры логики для получения логических моделей запишем выражение для тока в контактной схеме, показанной ниже. Ток может принимать два значения, одно из них равно нулю, другое. Этим значениям поставим в соответствие булевы значения 0 и 1. Пусть единичному значению переменных соответствует включенное состояние реле. Отметим также, что последовательное соединение замыкающих контактов описывается функцией «конъюнкция» (и), а параллельное соединение — функцией «дизъюнкция» (или). Действительно, чтобы ток принял значение 1, при последовательном соединении нужно, чтобы все контакты сработали. При параллельном соединении = 1, если хотя бы один контакт замкнется, т. е. если хотя бы один из станет равным 1. Если при этом вместо замыкающего контакта фигурирует размыкающий, то соответствующая ему переменная входит в уравнения со знаком операции отрицания. С учётом сказанного для схемы рис. .