Интегрирование по частям
Если u (x), v (x)– дифференцируемы на отрезке X и существует
dv = (x) v¢ (x) dx, тогда существует и интеграл du и выполняется равенство
du = uv - dv (формула интегрирования по частям).
Доказательство. Пусть dv = F (x) +C. Тогда функция uv – F будет первообразной для, что можно проверить дифференцированием:. Можно было продифференцировать левую и правую части и убедится, что получится одна и та же функция.
Пример. Для интеграла x dx выберем функции: v (x) = ln x, u (x) = x, тогда
x dx =x ln x - = x ln x – x + C.
1.2. Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование
Разложение дроби на элементарные. Метод неопределенных коэффициентов.
а) Если a вещественный корень многочлена, то существует единственное представление многочлена в виде
P (x) =, a ³ 1,и - многочлен, причем.
Число a называется кратностью корня. Другое эквивалентное определение кратности корня дается в терминах производных: a – это порядок первой, не равной нулю производной в точке a: P (a) = P¢ (a) =…= P (a-1)(a)=0, P (a)(a)¹0.
|
|
Доказательство этого свойства следует из формулы Тейлора для многочлена. Действительно, пусть. Очевидно, что все производные этого многочлена, начиная с порядка, будут тождественно равны нулю. Поэтому разложение функции по формуле Тейлора в точке будет иметь вид (остаток в форме Лагранжа тождественно равен нулю)
.
Если число является корнем многочлена и - порядок первой отличной от нуля производной, то
= =,.
б) Если z = u + i v, v ¹0комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число = u - i v также является корнем многочлена. Это утверждение следует из свойств операции комплексного сопряжения:,, для действительного числа x справедливо равенство. Поэтому, если z корень многочлена P (x) = a 0 +…+akxk+…+ anxn, то = = = = P ().
Тогда существует единственное представление многочлена в виде
P (x) = (x 2 +px+q) b , b ³ 1, Q (z)¹0,
(x - z)(x -)=(x - u - i v)(x - u + i v)=(x-u)2 +v 2 =x 2-2 ux+u 2 +v 2 = x 2 +px+q.
в) Любой многочлен можно разложить в произведение по своим корням
,
где A – старший коэффициент многочлена, a 1 ,a 2 ,…, ar - действительные корни кратностей a 1 ,a 2 ,…, ar, а z 1 ,z 2 ,…, zs комплексные корни кратностей b1,b2 ,…, b s. Связь между комплексными корнями и сомножителями в разложении многочлена следующая x2+pkx+qk= (x - zk)(x -).
Определение. Рациональная функция (отношение двух многочленов)) называется правильной дробью, если порядок многочлена числителя строго меньше порядка многочлена в знаменателе.
Утверждение. Любую рациональную функцию можно представить в виде многочлена (целая часть) плюс правильная дробь.
, - R(x) – многочлен, дробь - правильная.
R (x) – называется целой частью, а дробь P 1/ Q 1 – остатком. Остаток и целую часть можно получить делением «уголком».
|
|
Пример: Выделить целую и дробную часть
Таким образом,