Особенности численного решения задач газовой динамики

Отметим главную особенность, связанную с численным решением задач газовой динамики. Она состоит в том, что большинство задач являются нелинейными, а теория разностных методов развита в основном для линейных задач. Вместе с тем все эти утверждения и построения, являющиеся строгими лишь для линейных задач, в настоящее время применяют также и для задач газовой динамики, хотя в своем точном понимании они уже к ним неприменимы.

Это означает, что все основные понятия теории разностных схем – понятие аппроксимации, устойчивости и сходимости – нуждаются в пересмотре и обобщении. К сожалению, следует констатировать, что этот пересмотр в настоящее время еще далек от завершения.

На предыдущей лекции мы рассматривали широко используемые на практике модели, где газ движется в средах, лишенных вязкости и теплопроводности. Были записаны в разных формах системы уравнений газовой динамики для такого случая. Хорошо известно, что движение в таких средах описывается разрывными функциями. Это значит, что, вообще говоря, дифференциальные уравнения уже неприменимы для описания таких процессов. Как будет показано в следующих лекциях, движение в таких средах можно описывать с помощью систем интегральных или интегро-дифференциальных уравнений – законов сохранения массы, импульса, энергии.

Таким образом, в газовой динамике мы имеем дело, вообще говоря, с разрывными решениями интегро-дифференциальных уравнений. Следовательно, и аппроксимация должна пониматься как аппроксимация интегральных законов сохранения в классе разрывных решений. В частности от точного решения нельзя требовать ограниченности производных, так как они не существуют. Значит и представление о порядке аппроксимации должно быть получено с помощью других терминов и других норм близости решений.

Точно также понятие сходимости разностной схемы существенно зависит от класса решений законов сохранения. Ясно, что норма близости двух обобщенных (разрывных) решений является слабой. В этой ситуации наиболее подходящей представляется норма пространства .

Аналогично понятие устойчивости нелинейной разностной схемы, перенесенное из линейной теории, имеет весьма ограниченную ценность ввиду отсутствия принципа суперпозиции решений. Это значит, что вопрос о приближении с заданной точностью решения системы нелинейных законов сохранения с помощью решения системы нелинейных разностных уравнений не расчленяется на отдельные, более простые требования. Он решается, как правило, целиком, притом для каждого узкого класса задач индивидуально – по-своему.

В то же время нельзя и недооценивать значение линейной теории разностных схем, тем более, что пока она является единственным инструментом исследования нелинейных схем. Решение системы законов сохранения, помимо линий разрыва, имеет области, в которых оно является классическим решением дифференциальных уравнений газовой динамики. Поэтому в этих областях можно применять понятие аппроксимации, точности и другие понятия линейной теории. На заданном фоне, т.е. фиксируя какое-либо решение газовой динамики, можно изучать развитие малых отклонений решения с помощью понятия устойчивости из линейной теории.

Таким образом, наш общий вывод таков. Необходимо применять все понятия и методы линейной теории разностных схем и для случая схем нелинейных, однако, столь же необходимо помнить, что они необоснованны и могут привести к неверным результатам.