Где

Следует заметить, что реализация прямых методов на компьютере приводит к решению с погрешностью, т.к. все арифметические операции над переменными с плавающей точкой выполняются с округлением. В зависимости от свойств матрицы исходной системы эти погрешности могут достигать значительных величин.

Итерационные методы (методы последовательных приближений) состоят в том, что решение системы находится как предел последовательных приближений при, где - номер итерации. При использовании методов итерации обычно задается некоторое малое число и вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка.

Прямыми методами называются методы, позволяющие получить решение системы за конечное число арифметических операций. К этим методам относятся метод Крамера, метод Гаусса, LU-метод и т.д.

И итерационные методы (методы последовательных приближений).

Будем предполагать, что определитель матрицы отличен от нуля, т.е. решение системы существует.

Заданный вектор.

Методы численного решения системы делятся на две группы:

прямые методы («точные»)

К этим методам относятся метод Зейделя, Якоби, метод верхних релаксаций и т.д.

Метод Гаусса

Запишем систему в развернутом виде:

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из этой системы. Предположим, что . Последовательно умножая первое уравнение на и складывая с i- м уравнение, исключим из всех уравнений кроме первого. Получим систему:

Аналогичным образом из полученной системы исключим . Последовательно, исключая все неизвестные, получим систему треугольного вида: