2015-01-21
497
Пользуясь Теоремой о среднем, получим следующие формулы для конечных приращений функции 
:
, где 
Воспользуемся условием сильной выпуклости 
Заменяя 
на 
, получим: 
.Следовательно, 
.
Поделив на 
и устремив 
к нулю, будем иметь 
.
Положим 
и, используя неравенство Коши-Буняковского, получим 
для любого 
. Это означает, что 
. Лемма доказана.
Пусть последовательность 
получена с помощью метода Ньютона и точка 
- глобальный минимум функции 
. Нижеследующая теорема устанавливает условия квадратичной скорости сходимости метода.
Теорема 1. Пусть дважды непрерывно дифференцируемая функция сильно выпукла (с константой 
), а вторая производная удовлетворяет условию Липшица 
, для любых 
, и 
. Тогда 
и метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости 
.
