Формула обращения и теорема единственности

По функции распределения всегда можно найти характеристическую функцию. Имеет место и обратное: по характеристической функции можно однозначно определить функцию распределения.

Теорема 1 (формула обращения). Пусть F(x) - функция распределения случайной величины X и E_X(t) - ее характеристическая функция:

Для любых двух точек a, b (a<b), где функция распределения F(x) - непрерывна, справедливо соотношение:

(1)

Примем без доказательства.

Следствие. Если существует плотность f(x) случайной величины X, то она может быть определена по формуле:

(2)

Примем без доказательства.

Теорема 2 (единственности). Характеристическая функция случайной величины однозначно определяет ее функцию распределения.

(3)

Доказательство следует из формулы обращения (1) и из того, что разности F(b)-F(a) однозначно определяют F(x).