Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона

Теорема Бернулли. Если событие А происходит в каждом опыте с вероятностью P(A)=p, то частота появления этого события n сходится по вероятности к p при n®¥ (при неограниченном увеличении числа опытов n), n .

Доказательство. Рассмотрим независимые случайные величины X_j - число появлений события А в j-ом опыте.

Ряд распределения для дискретной случайной величины X_j имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X_j равны M[X_j]=p; D[X_j]=pq, где q=1-p. Условие теоремы Хинчина выполняется, следовательно

n n 

Теорема Бернулли утверждает устойчивость частоты при постоянных условиях опытов.

При переменных условиях опытов также существует устойчивость частоты, что утверждается теоремой Пуассона.

Теорема Пуассона. Если производится n независимых опытов и вероятность появления события А в i-ом опыте равна p_i, то при увеличении n (n ® ¥) частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей p_i.

Теорема Пуассона доказывается с помощью теоремы Чебышева.

Имеет важное значение для практического применения теории вероятностей, когда исследования проводятся многократно, но изменяются условия их проведения. Вероятности зависят от условий, но в общем сходятся к некоторой средней вероятности.