Пусть ф-я опр. в т. и в нек-й ее окр-ти . Дадим арг. приращение , тогда ф-я получит приращение .
Опр.1 Производной ф-и в т наз. предел отношения приращения ф-и к соответствующему приращению арг., когда последнее стремится к 0:
.
Пр. .
Опр.2. Правой (левой) производной наз. .
Т1. Критерий сущ-ния производной в точке: существует и .
Опр.3. Ф-я , имеющая конечную производную в
т. , наз. дифференцируемой в этой точке.
Опр. 4. Если , то говорят, что в т. сущ. бесконечная производная.
Аналогично м. показать, что основные эл. функции диф-мы в т. .
_______________________________________________________
Т.2. О связи диф-ти и непрерывности функции в точке: Если ф-я диф-ма в т. , то она непр. в этой точке.
Д-во: , где – б.м. при , тогда непр.
Зам. Дифференцируемость непрерывность,
непрерывность дифференцируемость.
ПР. – непр., но не диф. в т. ,
т.к. .
непр., но не диф. в т. .