2015-01-30
987
Лопатку будем рассматривать как стержень постоянного сечения. Допустим, что центр тяжести и центр жесткости во всех сечениях лопатки совпадают, и кручение не зависит от изгиба.
Крутящий момент вокруг оси z
,
откуда 
, (14.9)
где G – модуль сдвига, а момент инерции на кручение
,
где b – длина хорды лопатки, функция 
описывает корытце лопатки, а 
- спинку (рис. 14.8). Если сечение близко к круглому, 
- полярному моменту инерции.
Рис. 14.8. Расчет момента инерции на кручение
На бесконечно малый элемент лопатки действует также момент от сил инерции
,
где массовый момент инерции
.
Тогда 
Рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента лопатки (рис. 14.9):
Рис.14.9. Бесконечно малый элемент лопатки
и приложенные к нему динамические силы при крутильных колебаниях
,
откуда
(14.10)
Уравнения (1.9) и (1.10) образуют систему дифференциальных уравнений, описывающих крутильные колебания лопатки. Решение будем искать в гармоническом виде
,
.
Подставив решение в уравнения (14.9) и (14.10), продифференцировав и сократив на 
, получим
|
|
|
,
.
Выразив 
из первого уравнения и подставив его во второе, получим
.
Обозначим 
, тогда 
, и
.
Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение имеет вид
.
Постоянные найдем из граничных условий.
В каждом сечении лопатка имеет одну степень свободы, поэтому получаем по одному граничному условию на каждой границе лопатки.
При z=0 при консольном абсолютно жестком закреплении 
, откуда следует
.
При z=l на свободном краю лопатки 
.
.
Это эквивалентно условию 
, 
, где n=1,2,3…
Значению 
соответствует частота колебаний 
и распределение углов поворота по лопатке вида 
(рис. 1.10, вверху). Это – первая крутильная форма колебаний. Ее узловая линия расположена вдоль лопатки.
Рис. 14.10. Узловые линии при крутильных колебаниях лопатки
Значению 
соответствует частота колебаний 
и распределение углов поворота по лопатке вида 
(рис. 14.10, внизу). Это – вторая крутильная форма колебаний. Ей соответствует еще одна узловая линия поперек лопатки. По разные стороны этой линии колебания происходят в противоположных направлениях.
