Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y: где p(x) и h(y) − непрерывные функции. Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов, перенесем d x в правую часть и разделим уравнение на h(y):

Если найдется число x₀, при котором h(x₀) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения.

Обозначив, запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C − постоянная интегрирования. Вычисляя интегралы, получаем выражение общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

Замечания 1) Почленное деления ДУ на h(y) может привести к потере некоторых решений. Поэтому следует отдельно решить уравнение =0 и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего уравнения – особые решения.

2) Уравнение y' = f₁(x) · f₂(y) также сводится к уравнению с разделяющими переменными. Для этого достаточно положить y' = и разделить переменные.

3) Уравнение y' = f(аx + вy +с), где а, в, с – числа. Путём замены u = аx + вy +с, сводится к ДУ с разделяющими переменными. Дифференцируя по х, получаем,

, т.е , откуда следует

Интегрируя это уравнение и заменяя u на аx + вy +с, получим общий интеграл исходного уравнения

Пример 1 Решить дифференциальное уравнение.

Решение. В данном случае p(x) = 1 и h(y) = y(y +2). Разделим уравнение на h(y) и перенесем dx в правую часть:

Заметим, что при делении мы могли потерять решения y = 0 и y = −2 в случае когда h(y) равно нулю. Действительно, убедимся, что y = 0 является решением данного дифференциального уравнения. Пусть Подставляя это в уравнение, получаем: 0 = 0. Следовательно, y = 0 будет являться одним из решений. Аналогично можно проверить, что y = −2 также является решением уравнения. Вернемся обратно к дифференциальному уравнению и проинтегрируем его:

Интеграл в левой части можно вычислить методом неопределенных коэффициентов:

Таким образом, мы получаем следующее разложение рациональной дроби в подыинтегральном выражении: Следовательно,

Переименуем константу: 2C = C1. В итоге, окончательное решение уравнения записывается в виде:

Общее решение здесь выражено в неявном виде. В данном примере мы можем преобразовать его и получить ответ в явной форме в виде функции y = f(x,C1), где C1 − некоторая константа. Однако это можно сделать не для всех дифференциальных уравнений.

Однородные дифференциальное уравнения. Функция f(x,y) называется однородной функцией n –го порядка, если при умножении каждого её аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножиться λ ⁿ, т.е. f( λ· x, λ· y) = λ ⁿ· f(x,y)

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется однородным, если функцию f(x,y) – есть однородная функция нулевого порядка.

Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющими переменными при помощи замены переменной (подстановки) или, что, тоже самое,

Решить дифференциальное уравнение

Функцию «игрек» необходимо заменить произведением некоторой функции (тоже зависящей от «икс») и «икса». Подставляем и в исходное уравнение

После подстановки проводим максимальные упрощения уравнения: ; ; Далее алгоритм работает решения уравнения с разделяющимися переменными.

Если – это функция, зависящая от «икс», то. Таким образом:

Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в правой части – только «иксы»: Переменные разделены, интегрируем:

Получаем,

После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену, она тоже стандартна и единственна: Если , то В данном случае: Чаще всего решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла.