Формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины аналогичны соответствующим формулам для дискретной случайной величины (см. § 3.3). Действительно, рассмотрим следующую таблицу.
Дискретная случайная величина | Непрерывная случайная величина | |
Способ описания | Закон распределения | Плотность распределения |
Таким образом, переходя при записи этих формул от дискретной к непрерывной случайной величине, суммирование заменяется интегрированием по всей числовой оси, а вместо вероятности используется плотность распределения .
Пример. Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:
Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Для нахождения и нам потребуется плотность распределения данной случайной величины (см. приведенные выше формулы). Получаем:
или
Тогда имеем
Геометрически, полученное значение математического ожидания есть абсцисса центра тяжести фигуры под графиком плотности распределения, т.е. абсцисса прямоугольного треугольника ОАВ (см. рис. 7; напомним, что центр тяжести треугольника есть точка пересечения медиан этого треугольника, а медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины).
|
|
Завершая решение, найдем дисперсию рассматриваемой случайной величины.