Пусть дано уравнение
f (x) = 0, (11.4)
где функция f (x)определена и непрерывна на интервале [ a, b ] и выполняется соотношение f (a) ·f (b) < 0.
Пусть для определенности f (a) < 0, f (b) > 0. Тогда вместо того, чтобы делить отрезок [ a, b ] пополам, более естественно разделить его в отношении
- f (a) :f (b). При этом новое значение корня определяется из соотношения
x1 = a + h1, (11.5)
где
. (11.6)
Далее этот прием применяем к одному из отрезков[ a, x1 ] или [ x1, b ], на концах которого функция f (x) имеет противоположные знаки. Аналогично находим второе приближение x2 и т.д. (см. рис. 4.2.).
Геометрически этот способ эквивалентен замене кривой y = f(x) хордой, проходящей через точки А (a, f (a)) и B (b, f (b)).
Рис. 4.2. Уточнение корня уравнения методом хорд
Действительно, уравнение хорды АВ имеет вид
(11.7)
Учитывая, что при х = х1 => y = 0, получим
(11.8)
Полагая, что на отрезке [ a, b ] вторая производная f'' ( x ) сохраняет постоянный знак, метод хорд сводится к двум различным вариантам:
1. Из рис. 11.2, a видно, что неподвижна точка а, а точка b приближается к ξ, то есть
(11.9)
Преобразовав выражение (11.9), окончательно получим
(11.10)
2. Из рис. 11.2, b видно,что точка b остается неподвижной, а точка а приближается к ξ, тогда вычислительная формула примет вид
(4.11)
Таким образом, для вычисления корня уравнения имеем две различные вычислительные формулы (4.10) и (4.11).
Какую точку брать за неподвижную?
Рекомендуется в качестве неподвижной выбирать ту точку, в которой выполняется соотношение
f (x) ·f” (x) > 0. (11.12)