2015-01-30
641
Эта задача относится к классу выделения сигналов на фоне помех (или воспроизведения сообщений, задачей фильтрации). Впервые она сформулирована и решена Н. Винером в 1941 г.
Пусть на вход приемника поступает сигнал с помехой
y(t) = s(t) + x(t).
Приемник характеризуется передаточной функцией K(iw), которую необходимо определить. Этапы поиска сводятся к следующему.
 |
Рис. 5.3
Сигнал на выходе приемника
, (5.33)
,
где g(t) - импульсная переходная функция.
Ошибка в воспроизведении сигнала равна
x(t) = s(t) + g(t).
Задача формулируется так, чтобы найти передаточную функцию K(iw) приемника, обеспечивающую минимальное значение среднего квадрата ошибки
. (5.34)
После подстановки в (5.34) известных и искомых величин задача сводится к интегральному уравнению, решить которое можно методами вариационного исчисления. Решение, полученное Н. Винером, имело вид
, (5.35)
где S(w), N(w) – энергетические спектры сигнала и помехи.
Дальнейшие поиски привели к уточнению критерия оптимальности и несколько другому решению. Стали искать фильтр, обеспечивающий максимум отношения сигнала к шуму на выходе фильтра. Оказалось, что такое условие обеспечивает фильтр (приемник) с передаточной функцией
|
|
|
, (5.36)
где a, t0 – постоянные значения,
S*(iw) – спектр, сопряженный со спектром сигнала.
Другими словами, передаточная функция приемника должна быть согласована со спектром сигнала. Отсюда пошел термин согласованной фильтрации.
Получаемое на выходе приемника отношение сигнала к шуму равно
,
где 
- энергия сигнала на входе приемника,
N0 – энергетический спектр помех.
Заметим, что сигнал на выходе согласованного фильтра совпадает по форме с автокорреляционной функцией входного сигнала, так как
,
а для согласованного фильтра g(t)= A0sвх(t-t). Поэтому
,
где t=t - t0.
Это означает, что приемник можно строить по правилам вычисления взаимно корреляционной функции входного сигнала с ожидаемым. На рис. 5.4 показана корреляционная функция отрезка гармонического колебания.
Рис. 5.4
