Основы теории Максвелла для электромагнитного поля

19. Напряженность электрического поля в зазоре между обкладками конденсатора площадью 1 см², заполненного диэлектриком с ε = 1000, изменяется равномерно со скоростью 0,17 МВ/(м · с). Опре­делить силу тока смещения в таком электрическом поле.

Дано: S = 1см²; ε = 10³.

Найти: I _см.

Решение. По теории Максвелла, плотность тока смещения j _см равна скорости изменения электрического смещения D: . Учитывая, что , где ε — диэлектрическая проницаемость среды, ε ₀ — электрическая постоянная, Е — напряженность электрического поля, можно записать: По определению, плотность тока смещения в случае посто­янного тока равна: где S — площадь пластины конденсатора.

С учетом этого можно записать: откуда

Подставляя числовые данные, получим:

20. При разрядке плоского конденсатора, площадь обкладок кото­рого равна 10 см², заполненного диэлектриком с ε = 10³, в подводя­щих проводах течет ток 1 мкА. Определить скорость изменения напряженности электрического поля в конденсаторе.

Дано: I = 10^{-6 A; S = 10-3 м2}; ε = 10³.

Найти: .

Решение. Сила тока проводимости в подводящих проводах равна силе тока смещения в электрическом поле конденсатора

Плотность тока смещения j _см, по определению, равна

С другой стороны, по Максвеллу, где D — электрическое смещение, связанное с напряженно­стью поля Е соотношением . С учетом этого запишем:

Приравнивая правые части этих выражений, получим:

Подставим числовые данные:

21. При разрядке длинного цилиндрического конденсатора дли­ной 5 см и внешним радиусом 0,5 см в подводящих проводах течет ток проводимости силой 0,1 мкА. Определить плотность тока смеще­ния в диэлектрике между обкладками конденсатора.

Дано: l = 5 см = 5∙10^{-2 м}; r = 0,5 см = 5∙10^{-4 м}; I _пр = 0,1 мкА.

Найти: j _см.

Решение. Считаем заряд конденсатора равным Q. По теоре­ме Остроградского – Гаусса, для вектора электрического сме­щения поток вектора сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность радиуса r равен заряду Q, охватываемому поверх­ностью интегрирования S:

По условию задачи, поток вектора пронизывает боковую цилиндрическую поверхность нормально к ней, так как D = D_n.

Плотность тока смещения j _см равна

Подставим численные значения