Знакочередующиеся ряды

Определение. Знакочередующимися называются ряды, члены которых поочерёдно то неотрицательны, то отрицательны.

Согласно этому определению, структура знакопеременных рядов такова:

, или, где все. Мы будем рассматривать первую из этих форм; вторая сводится к первой выносом знака за сумму.

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Если

1. Последовательность, составленная из модулей членов знакочередующегося ряда, монотонно убывает, т.е.;

2. Выполняется необходимый признак сходимости ряда, т.е.,

то ряд сходится. Его сумма по абсолютной величине не превосходит абсолютную величину первого члена.

Доказательство. Рассмотрим последовательность чётных частичных сумм ряда. Представим эту сумму в виде. Из первого условия теоремы следует, что суммы в круглых скобках неотрицательны, поэтому последовательность монотонно возрастает с ростом n. С другой стороны,, т.е. эта последовательность ограничена сверху величиной. Следовательно. Но для нечётных сумм, так как по второму условию теоремы. Таким образом, частичные суммы имеют предел независимо от их четности или нечётности, т.е. ряд сходится, и его сумма. Знак суммы совпадает со знаком первого члена.

С помощью признака Лейбница доказывается сходимость рядов,., и т.д. Третий из этих рядов сходится абсолютно (сходится), остальные - условно (ряды из модулей членов расходятся). Естественно, существуют знакочередующиеся ряды, для которых условия теоремы Лейбница могут не выполняться; если не выполняется второе условие - необходимый признак сходимости - то ряд заведомо расходится; если не выполняется первое условие, то задача должна решаться с помощью других соображений. Рассмотрим, например, ряд Понятно, что первое условие теоремы Лейбница не выполняется (например,), поэтому эта теорема неприменима и требуется изобрести индивидуальный способ решения этой задачи. Сгруппируем члены попарно: Сумма в скобке, поэтому последний ряд (со скобками) расходится. Последовательность чётных частичных сумм неограничена, поэтому исходный ряд расходится.

У теоремы Лейбница есть исключительно важный для приложений вывод - вывод о том, что сумма знакочередующегося ряда (или, как говорят, ряда лейбницевского типа) по модулю не больше модуля первого члена:. На нашем уровне нас интересует, в основном, вопрос о сходимости ряда, но при решении практических задач вслед за вопросом о сходимости ряда встаёт вопрос о нахождении его суммы. Основной метод суммирования рядов - вычисление его частичной суммы с количеством слагаемых, обеспечивающим заданную точность. Рассмотрим два примера: найти суммы рядов и с погрешностью, не превышающей. Оба ряда сходятся (пример 1 раздела 18.1.3.3.Признак сходимости Даламбера). Основная проблема здесь - найти, какое количество n слагаемых надо взять, чтобы частичная сумма отличалась от суммы ряда S не более, чем на. Так как, где - остаток ряда после n -го члена, и мы хотим принять, то должно быть. И здесь выясняется различие в технике оценки остатка для Лейбницевских рядов с одной стороны и произвольных рядов с другой стороны. Остаток знакочередующегося ряда - тоже знакочередующийся ряд, поэтому он подчиняется выводу теоремы Лейбница:. Другими словами, остаток знакочередующегося ряда по модулю не превосходит первый свой член (или первый отброшенный член ряда). Поэтому для первого из рассматриваемых рядов условие сводится к. Подбором убеждаемся, что первое значение n, для которого это условие выполняется, есть n =7 (7!=5040, 8!=40320), поэтому для нахождения суммы ряда с погрешностью, не превышающей величину, достаточно взять 7 слагаемых:

(при вычислениях с точностью до в промежуточных выкладках необходимо удерживать не меньше, чем 5 знаков после запятой. Дальше мы поймём, что вычислено значение с четырьмя верными цифрами после запятой).

Переходим ко второму ряду. Это знакопостоянный ряд, поэтому единственное, что мы можем сделать - напрямую оценить остаток ряда. Пока единственный ряд, для которого мы знаем выражение суммы - геометрическая прогрессия, поэтому надо в той или иной форме свести остаток к геометрической прогрессии. В данном случае это сделать просто:. Для каждого из слагаемых в круглой скобке верна оценка, поэтому. Ряд в круглых скобках - геометрическая прогрессия со знаменателем, его сумма равна, следовательно,. Теперь надо найти такое n, что. Перебором различных значений n убеждаемся, что и в этом случае можно взять n =7 (выражение равно 0,0002268 при n = 6 и 0,000028 при n = 8. Итак,. Это значение числа е с четырьмя верными цифрами после запятой.

ЛЕЙБНИЦА ПРИЗНАК