Корреляционный анализ. Основной задачей корреляционного анализа является выявление связи между случайными переменными и оценка её тесноты

11 12 13 14 15 16 17

Основной задачей корреляционного анализа является выявление связи между случайными переменными и оценка её тесноты.

Рассмотрим две случайные величины , и наиболее важный для практики случай, когда они связаны линейной зависимостью

Тогда показателем тесноты линейной связи является выборочный коэффициент корреляции

. (22)

Коэффициент является точечной оценкой неизвестного коэффициента корреляции , который существует в природе.

Основные свойства :

1. Значения изменяются в пределах: . Если , то говорят о прямой связи переменных и , в противном случае () – об обратной.

2. Если 1, то корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость.

3. Если 0, то линейная корреляционная связь отсутствует.

Характеристику связи при других значениях коэффициента даёт шкала Чеддока:

Значения	0,1 0.3	0,3 0,5	0,5 0,7	0,7 0,9	0,9 0,99
Характеристика связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

Для оценки значимости тестируется гипотеза

0 при альтернативной 0.

Гипотеза проверяется с использованием статистического критерия

, (23)

который при справедливости гипотезы имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

По формуле (23) находится значение и если | | , то гипотеза принимается на уровне значимости . В противном случае – отвергается.

Если является статистически значимым, то для него можно построить доверительный интервал. Для этого используют преобразование Фишера:

. (24)

Вначале строят доверительный интервал для математического ожидания переменной

, (25)

где значение аргумента функции Лапласа, находимое из равенства

. (26)

Далее уже строят доверительный интервал для :

Значения гиперболического тангенса находят, либо, используя его формулу

либо из специальных таблиц для гиперболического тангенса.

Пример 18. Имеются данные о производительности труда (тыс. руб) и энерговооруженности труда (кВт) в расчете на одного работающего для 14 предприятий региона (табл.14).

Таблица 14

	2,8	2,2	3,0	3,5	3,2	3,7	4,0	4,8	6,0	5,4	5,2	5,4	6,0	9,0
	6,7	6,9	7,2	7,3	8,4	8,8	9,1	9,8	10,6	10,7	11,1	11,8	12,1	12,4

Требуется:

1. Оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента парной корреляции.

2. Проверить значимость коэффициента корреляции.

3. Построить для коэффициента корреляции 95% доверительный интервал.

Решение. 1. Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле (22). Найдем для этого необходимые суммы:

2,8+2,2+…+6,0+9,0=64,2;

335,26;

6,7+6,9+…+12,1+12,4=132,9;

1313,95;

650,99.

Подставляя полученные суммы в формулу (22), получим

0,898.

Таким образом, связь между переменными прямая и высокая по шкале Чеддока.

2. Проверим значимость коэффициента корреляции путём тестирования гипотезы 0 при альтернативной 0.

По формуле (23) вычисляем наблюдаемое значение критерия

7,07.

Из таблицы распределения Стьюдента (приложение 2) находим

2,179.

Поскольку , то гипотеза отвергается на уровне значимости 0,05 в пользу гипотезы , т.е. коэффициент корреляции является статистически значимым (существенно отличается от нуля).

3. Так как коэффициент корреляции статистически значим, то для него можно построить доверительный интервал, применяя преобразование Фишера.

По формуле (24) определяем значение переменной :

1,466.

Поскольку 95% доверительный интервал соответствует доверительной вероятности 0,95, то 0,475 и из равенства (26) находим по таблицам функции Лапласа (приложение 1) значение аргумента 1,96.