Оценивание параметров и проверка гипотез

Пусть оценивается некоторый параметр признака генеральной совокупности. Для этого извлечена выборка объёма : .

Точечной оценкой параметра называют числовое значение некоторой подобранной функции, полученное по результатам выборки, т.е.

. (16)

Оценка зависит от значений , поэтому является случайной величиной.

Для того чтобы точечная оценка давала хорошее приближение оцениваемого параметра, она должна быть: несмещенной, эффективной, состоятельной.

Оценка параметра называется несмещённой, если её математическое ожидание равно самому оцениваемому параметру, т.е.

.

В противном случае оценку называют смещенной.

Несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , вычисленных по выборке объёма , т.е.

.

Оценка параметра называется состоятельной, если при она сходится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е.

.

Доказано, что выборочное среднее

(16)

является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания генеральной совокупности. Если имеет нормальный закон распределения, то будет и эффективной оценкой.

Выборочная дисперсия

(17)

является смещённой и состоятельной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

Чтобы получить несмещенную оценку выборочную дисперсию корректируют и вычисляют исправленную выборочную дисперсию

. (18)

Исправленная дисперсия при становится эффективной.

Несмещённой оценкой СКО генеральной совокупности является исправленное СКО

.

Интервальной оценкой параметра называют числовой интервал (), который с наперёд заданной вероятностью накрывает неизвестное значение параметра .

Сам интервал () называют доверительным интервалом, а вероятность доверительной вероятностью.

Пусть имеет нормальный закон распределения с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией . По выборке объёма получены несмещённые оценки этих параметров: и соответственно. Тогда интервальные оценки для и СКО находятся по следующим формулам:

, (19)

. (20)

Здесь критическая точка распределения Стьюдента находится из таблиц по двум входным данным: вероятности и числу степеней свободы ; критические точки распределения также находятся из таблиц по заданному значению и числу степеней свободы .

Статистической гипотезой называют любое предположение о виде закона распределения случайной величины, либо предположение о значениях параметров известных распределений.

Выдвинутую гипотезу называют нулевой и обозначают символом . Наряду с ней рассматривают альтернативную или конкурирующую гипотезу , которая противоречит . Конкурирующих гипотез может быть несколько. Для проверки гипотезы используют выборку. Если статистические данные противоречат , то её отклоняют.

Для тестирования используется специально подобранная случайная величина , называемая статистическим критерием (статистикой)

.

Подбор критерия осуществляется так, чтобы его закон распределения при справедливости был либо точно, либо достаточно точно известен.

Множество возможных значений критерия разбивается на два непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы и критическую область, попадание в которую критерия позволяет отвергнуть гипотезу .

В зависимости от вида конкурирующей гипотезы критическая область может быть трёх видов: двусторонняя, правосторонняя, левосторонняя.

Точки, разделяющие эти два подмножества, называются критическими.

Критические точки выбирают так, чтобы вероятность попадания критерия в критическую область была очень малой величиной.

Значения выбирают в диапазоне от 0,1 до 0,01 и называют уровнем значимости. Уровень значимости и доверительная вероятность связаны соотношением .

Рассмотрим схему проверки гипотезы о математическом ожидании. Пусть имеет нормальный закон распределения с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией . Задан уровень значимости .

По выборке объёма : вычислено среднее выборочное и исправленная выборочная дисперсия .

Выдвигается гипотеза

: ,

которая тестируется с помощью критерия

. (21)

Доказано, что при выполнении гипотезы случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Если , то критическая область будет двусторонней симметричной относительно начала координат и её границы

и

находятся по таблице распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы .

По формуле (21) вычисляется наблюдаемое значение статистического критерия .

При выполнении неравенства принимается гипотеза , в противном случае () она отвергается в пользу альтернативной гипотезы .

Пример 17. При оценке свойств картофеля было обследовано 10 проб и получены следующие значения содержания крахмала :

Таблица 11

Содержание крахмала, %
5,2	5,8	5,7	6,0	5,9	5,3	4,9	5,1	5,3	5,8

Требуется:

1. Определить выборочное среднее , выборочную дисперсию , выборочное среднее квадратическое отклонение , исправленную дисперсию и среднее квадратическое отклонение для величины .

2. Полагая, что изменчивость величины описывается законом нормального распределения, найти доверительные интервалы для ожидаемого среднего значения и ожидаемого среднего квадратического отклонения содержания крахмала с заданной надежностью , а также вероятность того, что величина содержания крахмала в выбранной наудачу пробе окажется в пределе от до .

3. Проверить на уровне значимости нулевую гипотезу : при конкурирующей гипотезе : .

Задачу решить для следующих значений параметров , , .

Решение. 1. Выборочное среднее при объеме выборки =10 находится по по формуле (16):

.

Подставляя в формулу значения из таблицы 11, получим

=5,5 (%).

Для вычисления выборочной дисперсии используется формула (17) .

Составим следующую вспомогательную таблицу, куда внесем отклонения и их квадраты .

Таблица 12

Содержание крахмала в пробе, %
5,2	-0,3	0,09
5,8	0,3	0,09
5,7	0,2	0,04
6,0	0,5	0,25
5,9	0,4	0,16
5,3	-0,2	0,04
4,9	-0,6	0,36
5,1	-0,4	0,16
5,3	-0,2	0,04
5,8	0,3	0,09
	-	1,32

По данным таблицы 12 определим выборочное среднее

Далее вычисляем выборочное среднее квадратическое отклонение

Исправленную дисперсию находим по формуле (18):

Исправленное стандартное отклонение вычисляют путем извлечения квадратного корня из :

2. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенного признака при неизвестных и определяется по формуле (19).

По заданной вероятности 0,95 находим 0,05 и 0,025. Так как 10, то число степеней свободы 9. Отсюда по таблице распределения Стьюдента (приложение 2) находим

2,262.

Вычислим

Тогда

или

Интервальная оценка среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака находится по формуле (20):

.

Найдем критические точки . Величина 0,975, отсюда по таблице распределения (приложение 3) находим

19,02; 2,70.

В итоге получаем

Чтобы найти вероятность того, что величина содержания крахмала в выбранной наудачу пробе окажется в пределе от до воспользуемся точечными несмещёнными оценками параметров нормального распределения и .

Воспользуемся известной формулой для подсчёта вероятности нахождения нормально распределённой случайной величины в заданном интервале через функцию Лапласа :

,

в которой заменим и их оценками и соответственно.

Учитывая нечетность функции Лапласа , с использованием таблиц функции Лапласа (приложение 1) получим

3. Для того чтобы при заданном уровне значимости , проверить нулевую гипотезу : о равенстве неизвестной генеральной средней гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе : , надо по формуле (21) вычислить наблюдаемое значение статистического критерия .

Найдем наблюдаемое значение критерия

4,128.

В таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 2) по заданному значению =0,05 и числу степеней свободы 9 находим

= 2,262.

Так как выполняется неравенство , то нулевая гипотеза отвергается и выборочная средняя =5,5 значимо отличается от предполагаемого значения генеральной средней =5,0.

Заметим, что если бы проверялась нулевая гипотеза для =5,3, то наблюдаемое значение критерия было бы =1,65 и нулевую гипотезу не было бы оснований отвергать и незначимо отличалась бы от .