Смотрим на левую часть: . Очевидно, что в нашем примере (и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за , а что-то за .
В интегралах рассматриваемого типа за всегда обозначается логарифм.
Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:
То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтегрального выражения.
Следующий этап: находим дифференциал :
Дифференциал – это почти то же самое, что и производная.
Теперь находим функцию . Для того чтобы найти функцию необходимо проинтегрировать правую часть нижнего равенства :
Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть формулы: .
Вот кстати, и образец чистового решения с небольшими пометками:
Как видите, применение формулы интегрирования по частям, по сути дела, свело наше решение к двум простым интегралам.
Обратите внимание, что в ряде случаев сразу после применения формулы, под оставшимся интегралом обязательно проводится упрощение – в рассматриваемом примере мы сократили подынтегральное выражение на «икс».
|
|
Выполним проверку. Для этого нужно взять производную от ответа:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл решён правильно.
В ходе проверки мы использовали правило дифференцирования произведения: . И это не случайно.
Формула интегрирования по частям и формула – это два взаимно обратных правила.
Пример 2
Найти неопределенный интеграл.
Подынтегральная функция представляет собой произведение логарифма на многочлен.
Решаем.
Как уже говорилось, за необходимо обозначить логарифм (то, что он в степени – значения не имеет). За обозначаем оставшуюся часть подынтегрального выражения.
Записываем в столбик:
Сначала находим дифференциал :
Теперь находим функцию , для этого интегрируем правую часть нижнего равенства :
Для интегрирования мы применили простейшую табличную формулу
Теперь всё готово для применения формулы . Открываем «звёздочкой» и «конструируем» решение в соответствии с правой частью :
Под интегралом у нас снова многочлен на логарифм! Поэтому решение опять прерывается и правило интегрирования по частям применяется второй раз. Не забываем, что за в похожих ситуациях всегда обозначается логарифм.
Хорошо бы, если к данному моменту простейшие интегралы и производные Вы умели находить устно.
(1) Не путаемся в знаках! Очень часто здесь теряют минус, также обратите внимание, что минус относится ко всей скобке , и эти скобки нужно корректно раскрыть.
(2) Раскрываем скобки. Последний интеграл упрощаем.
(3) Берем последний интеграл.
|
|
(4) «Причесываем» ответ.
Необходимость дважды (а то и трижды) применять правило интегрирования по частям возникает не так уж и редко.