Метод золотого сечения. Пусть f(x) задана и кусочно-непрерывна на [xL, xR], и имеет на этом отрезке только один локальный минимум

Пусть f (x) задана и кусочно-непрерывна на [ x_L, x_R ], и имеет на этом отрезке только один локальный минимум. Золотое сечение, о котором упоминал ещё Евклид, состоит в разбиении интервала [ x_L, x_R ] точкой x ₁ на две части таким образом, что отношение длины всего отрезка к его большей части равно отношению большей части к меньшей:

. (2)

Таким образом, возьмем на отрезке две точки x ₁и x ₂, симметрично относительно границ делящие исходный отрезок в отношении золотого сечения:

,

,

где коэффициент .

Если f (x ₁) < f (x ₂), мы должны сузить отрезок справа, т.е. новое значение x _R = x ₂, в противном случае x _L = x ₁. Оставшаяся внутри нового отрезка точка является первым приближением к минимуму и делит этот отрезок в отношении золотого сечения. Таким образом, на каждой итерации приближения к минимуму (см. рисунок) нам нужно ставить только одну точку (x ₁ или x ₂), в которой считать значение функции и сравнивать его с предыдущим. Условием выхода из итерационного процесса будет, подобно предыдущему случаю, условие | x ₂ – x ₁| ≤ ξ.

Метод отличается высокой скоростью сходимости, обычно изысканной компактностью программной реализации и всегда находит точку, минимальную на заданном интервале.