Погрешности решения математической задачи

При численном решении математических задач неизбежно появление на том или ином этапе их решения погрешностей следующих трех типов:

1) Погрешность задачи. Она связана с приближенным характером исходной содержательной модели (в частности, с невозможностью учесть все факторы в процессе изучения моделируемого явления), а также ее математического описания, параметрами которого обычно служат приближенные числа (например, из-за принципиальной невозможности выполнения абсолютно точных измерений).

2) Погрешность численного метода. Это погрешность, связанная со способом решения поставленной математической задачи и появляющаяся в результате подмены исходной математической модели другой или конечной последовательностью других, например линейных моделей. При создании численных методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня.

3) Погрешность вычислений. Этот тип погрешностей обусловлен необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники.

Все три описанных типа погрешностей в сумме дают полную погрешность результата решения задачи. Поскольку первый тип погрешности не находится в пределах компетенции специалиста по вычислительной математике, который использует численные методы, то для него он служит лишь ориентиром точности, с которой следует проводить расчеты. Нет смысла решать задачу существенно точнее, чем это диктуется неопределенностью исходных данных. Таким образом, погрешность метода подчиняется погрешности задачи. Наконец, при выводе оценок погрешностей численных методов обычно исходят из предположения, что все операции над числами выполняются точно. Это означает, что погрешность вычислений не должна существенно отражаться на результатах реализации методов, т.е. должна подчиняться погрешности метода.