Пример 14

Двухпроводная система состоит из коаксиально расположенных проводника радиусом R_I = 2 мм и тонкостенной цилиндрической трубы R₂ = 2 см (рис.12). Найти индукцию магнитного поля в точках, лежащих на расстояниях r₁ = 3 см, r₂ = 1 см от оси системы, при силе тока I = 10 А. Рассчитать магнитный поток, пронизывающий площадку S, расположенную в плоскости осевого сечения и ограниченную осью системы и одной из образующих цилиндра длины l = 1 м. Полем внутри металла пренебречь. Всю систему считать практически бесконечно длинной.

Дано: Решение

R₁ = 2^.10^{-3 м dS=ldr}

R₂ = 2^.10^{-2 м} _I

r₁ = 3^.10^{-2 м I}

r₂ = 10^{-2 м}

I = 10 A

l = 1 м L L₁

В₁, В₂, Ф -?

2R_l

2R₂

Рис.12

Можно предположить, что в пространстве внутри трубы направления линий индукции аналогичны направлению тока в осевом проводнике. В соответствии с этим выберем направление обхода контуров L₁ и L₂ так, чтобы оно составляло правовинтовую систему с осевым током I. Тогда во всех точках контура L₂ a = 0, где a - угол между и . Тогда во всех точках контура L₁ угол a также постоянен и равен 0 или p.

Из осевой симметрии следует, что модуль вектора В во всех точках каждого из контуров постоянен. Вычислим циркуляцию В₁ по замкнутому контуру L. Следовательно, левую часть равенства

(1)

можно записать в виде

(2)

С контуром L₂ cцеплен только осевой ток, т.е. = I, поэтому при подстановке второго из уравнений (2) в равенство (1) получим В2pr = m₀I, откуда при R₁ < r< R₂

B = m₀I/(2pr). (3)

С контуром L₁ сцеплены токи, текущие по осевому проводнику, и по трубе. Так как они направлены в разные стороны, то =0, поэтому при подстановке первого из уравнений (2) в равенство (1) получим

откуда при r > R₂

В = 0

При r = r₂ = 1 cм из выражения (3) получим В₂ = 2^.10^-4 Тл.

При r = r₁ > R₂ получим В = 0.

При расчете магнитного потока сквозь площадку S cледует учесть, что согласно условию полем внутри металла (r₂ < R₂) можно пренебречь. Индукция поля в пределах от R₁ до R₂ рассчитывается по выражению (3). Вектор положительной нормали к площади S при заданном направлении тока нормален плоскости рисунка и сонаправлен с вектором В, поэтому в выражении

(4)

BdS = Bldr. Тогда, подставив выражение (3) в (4), получим

.

В подынтегральном выражении переменной является только расстояние r, изменяющееся в пределах от R₁ до R₂, и

Произведя интегрирование, получим

.

Проверка размерности:

.