Пример 15

В центре соленоида (длина l = 70 см, диаметр витков d = 7 см, число витков N₁ = 300) расположена катушка, состоящая из N₂ = 20 витков площадью S = 0,3 см² каждый. Плоскость витков катушки составляет угол b = 37⁰ c осью соленоида (рис.13). По обмотке соленоида течет ток силой I₁ = 4 A, по обмотке катушки – ток силой I₂ = 0,1 A. Определить: 1) вращающий момент, действующий на катушку в начальном положении; 2) работу, совершаемую силами поля при повороте катушки до положения устойчивого равновесия; 3) работу внешних сил при перемещении катушки (после поворота) из центра соленоида в середину одного из оснований.

Дано: Решение

= 0,7 м

d = 7^.10^{-2 м}

N₁=300 ^d

N₂ = 20

S = 0,3^.10^{-4 м2 S b}

b = 37⁰

I₁ = 4 A

I₂ = 0,1 A

Рис.13

M, A, A =?

Индукция магнитного поля в центре длинного соленоида

В₁= m₀I₁N₁/ . (1)

Заменив векторное уравнение скалярным соотношением и, подставив в него выражения и В , получим

М = .

Так как при обоих возможных значениях угла из выражения

sin a₁ = cosb, то

В начальном положении поток, пронизывающий один виток катушки,

Ф₁ = В₁Scosa₁,

причем в зависимости от a₁ cosa₁ = ± sinb.. В положении устойчивого равновесия поток Ф₂ = В₂S. Подставляя выражение потоков Ф₁ и Ф₂ в

А = I(Ф₂ – Ф₁)

И учитывая (1) и то, что катушка содержит N₂ витков, получаем

А₁ = В₁SI₂N₂(1±sinb) = m₀I₁I₂N₁N₂S(1±sinb)/ .

Если a₁ = p/2 - b,, то А ₁ = 0,5^.10^-7 Дж; если a₁ = p/2+b, то А₁ = 2,1^.10^-7 Дж.

Индукция поля в середине основания длинного соленоида

В₂ = m0I1N1 / 2 . (2)

Cледовательно, при перемещении катушки из центра соленоида в середину основания его поток, пронизывающий один виток, изменяется от Ф₁ = В₁S до Ф₂ = В₂S.

Работа внешних сил

А^* = - А₂ = I₂N₂(Ф₁ –Ф₂).

Подставим выражения для Ф₁ и Ф₂ с учетом (1) и (2) в (3)

А^* = m₀I₁I₂N₁N₂S / (2 )=6,5^.10^-8 Дж

Проверка размерности: [А] = А^.Вб = А^.В^.с = Дж.