Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля l для двух случаев: 1) U1 = 51 B; U2 = 510 кВ.
Дано: Решение
U1 = 51 B Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее
U2 = 510 кВ импульса р и определяется формулой
l1, l2 =? l = h/p, (1)
где h – постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).
В нерелятивистском случае
(2)
где m0 – масса покоя частицы.
В релятивистском случае
(3)
где Е0 = m0c2 – энергия покоя частицы.
Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется так:
а) в нерелятивистском случае:
(4)
б) в релятивистском случае:
. (5)
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 B и U2 = 510 кB, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, которую из формул: (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.
|
|
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,
Т = еU.
В первом случае T1 = eU1 = 51 эВ = 0,51.10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е0 = m0c2 = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Т1 = 10-4 m0c2. Подставим это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде
l1 =
Учитывая, что есть комптоновская длина волны L, получим
Так как = 2,43 пм, то
Во втором случае кинетическая энергия Т2 = еU2 = 510 кэВ = 0,51МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учтя, что Т2 = 0,51 МэВ = m0c2, по формуле (5) найдем
или l = .
Подставим значение и произведем вычисления: