ДУ в полных дифференциалах. ДУ 1-го порядка, неразрешенные относительно производной

Уравнение P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u (x; y), т.е.

P (x; y) dx + Q (x; y) dy = du (x; y). В этом случае ДУ можно записать в виде du (x; y) = 0, а его общий интеграл будет: u (x; y) = c.

Т.: для того чтобы выражение Δ = P (x; y) dx + Q (x; y) dy, где функции P (x; y) и Q (x; y) и их частные производные ∂P/∂y и ∂Q/dx непрерывны в некоторой области D плоскости Oxy, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия ∂P/∂y = ∂Q/dx.

ДУ 1-го порядка, неразрешенные относительно производной: уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнение вида y = x · φ (y’) + ψ (y’), где φ и ψ – известные функции от y’ = dy/dx, называется уравнением Лагранжа.

Уравнение y = x · φ (y’) + ψ (y’) при φ (y’) y’ принимает вид