Пример 1. 1). При неупругом ударе, закон сохранения импульса имеет вид

Два шара массами 2,5 кг и 1. 5 кг движутся друг другу навстречу со скоростями 6 м/с и 2 м/с. Определите: 1) скорость шаров после удара; 2) кинетические энергии шаров до и после удара; 3) энергию, затраченную на деформации шаров при ударе. Удар считать прямым, неупругим.

Решение

1). При неупругом ударе, закон сохранения импульса имеет вид:

m₁υ₁+m₂υ₂=(m₁+m₂)•u,

откуда

u=(m₁υ₁+m₂υ₂)/(m₁+m₂).

Направление скорости первого шара примем за положительное, тогда скорость второго шара, при вычислении, следует взять со знаком «минус», так как шары движутся на встречу друг другу:

U=(2,5•6 – 1,5•2)/(2,5+1,5)=3 м/с

2). Кинетическую энергию шаров до и после удара, определим по формулам:

T₁=m₁υ₁²/2+ m₂υ₂²/2;

T₂=(m₁+m₂)•u²/2.

Подставив числовые значения, получим:

T₁=2,5•6²/2+1,5•2²/2=48 Дж

T₂=(2,5+1,5)•3²/2=18 Дж

3). Энергия деформации равна разности энергий шаров до и после удара:

W_деф.=Т₁ – Т₂= 48 – 18=30 Дж.

Находим долю энергии, пошедшую на деформацию:

k=(Т₁ – Т₂)/ T₁=30/48=0,62=62%.

Пример 2

Свайный молоток, массой 500 кг падает на сваю, массой 100 кг со скоростью 4 м/с. Определить:1) кинетическую энергию молота, в момент удара; 2) энергию, затраченную на углубление сваи в грунт; 3) энергию, затраченную на деформацию сваи; 4) КПД удара молотка о сваю. Удар считать неупругий.

Решение

1). Кинетическая энергия молотка в момент удара:

Т₁=m₁υ₁²/2. ….. (1)

Поставив числовые значения, вычислим:

Т₁=500•4²/2=4000 Дж.

2). Учитывая не упругость удара, находим скорость системы молотка плюс сваи после удара, применяя закона сохранения импульса:

m₁υ₁+m₂υ₂=(m₁+m₂)•u, …. (2)

где υ₁ – скорость сваи перед ударом, υ₂=0, так как свай перед ударом находилась в состоянии покоя, u – скорость молотка и сваи после удара. Из формулы (2) найдем:

u= m₁υ₁/(m₁+m₂). …. (3)

В результате сопротивления грунта, скорость молотка и сваи после удара быстро гасится, а кинетическая энергия, которой обладает система, затрачивается на углубление сваи в грунт. Эта энергия определяется по формуле:

Т₂=(m₁+m₂)•u²/2. …. (4)

Формулу (3) ставим в (4) и получим:

Т₂= m₁²υ₁²/2(m₁+m₂) …. (5)

Откуда

Т₂= m₁Т₁/(m₁+m₂) …. (6)

Поставив числовые значения в формулу (6), получим:

Т₂=500•4000/(500+100)= 3333 Дж.

3). Молоток до удара обладал энергией Т₁. Энергия Т₂ пошла на углубление сваи в грунт. Следовательно, энергия

Т= Т₁ - Т₂ …. (7)

затрачено на деформацию сваи. Поставив числовые значения в формуле (7), получим:

Т=4000 – 3333=667 Дж.

4). Свайный молоток служит для забивки сваи в грунт, следовательно, энергию Т₂ следует считать полезной. КПД удара молотка о сваи выразится как отношение энергии Т₂, ко всей затраченной энергии Т₁, т.е.

η= Т₂•100%/Т₁. …. (8)

Поставив формулу (6) в (8) получим:

η= m₁•100%/(m₁+m₂). …. (9)

Подставим числовые значения в формулу (9), получим:

η= 500•100%/(500+100)=83,3%.

Ответы: Т₁=4000 Дж.

Т₂=3333 Дж

Т=667 Дж.

η= 83,3%.