1. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на множителях (рис. 1.42,6).
2. Векторное произведение равняется нулевому вектору тогда и только тогда, когда множители коллинеарны, т.е.
, в частности, .
Первое свойство следует из определения. Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: , или , или . В каждом из этих случаев векторы и коллинеарны (см. разд. 1.1).
Пример 1.19. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах , где , угол между векторами и равен (рис. 1.44).
Решение. Используя алгебраические свойства, найдем сначала векторное произведение
а затем его модуль.
По первому геометрическому свойству векторного произведения искомая площадь параллелограмма равна , а площадь треугольника в 2 раза меньше: .