Доказательство. Пусть - корень многочлена f(x)=anxn + an-1xn-1 ++ a1x + a0, где все аi Î Z

Пусть - корень многочлена f(x)=a_nxⁿ+ a_n_-1xⁿ^-1+...+ a₁x + a₀, где все а_i Î Z. Подставим , где (p, q) = l, q ¹ 1 в многочлен, получим:

(1)

Умножим обе части равенства (1) на qⁿ, тогда:

a_npⁿ+ a_n-1qp^n-1+...+ a₁pq^n-1+ a₀qⁿ = 0 (2)

Из равенства (2) сначала можно выразить

a_npⁿ = (-a_n-1p^n-1 -...- a₁pq^n-2- a₀q^n-1)q => (а_n/q), а потом

-a₀qⁿ= p(a_np^n-1+ a_n-1p^n-2q+... …+ а₁q^n-l) => (а₀ /p) т.к. (p, q) = 1

Замечание 1. Так как "a Î Z, a ¹ 0 имеет лишь конечное число делителей, то теорема позволяет, путем конечного числа шагов, найти все рациональные числа многочлена или проверить что их нет.

Следствие 1. Нормированный многочлен f (x) Î Z[x] не имеет дробных корней;

Следствие 2. Целый корень многочлена f(x)ÎZ[x] является делителем свободного члена.

Задача 1. Разложить многочлен

f(x) = x⁶ - 2х⁵ + х⁴ + 6х³ - 10х² - 4х + 8

над полями Q, R и С.

Решение.

На основании теоремы (1), рациональные корни данного многочлена следует искать среди делителей числа 8, т.к. а_n = 1

Делители: + 1, ±2, ±4, ±8.

Известно, что число (a) является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится на (х - a) (Смотри п. 4). Следовательно, для проверки, какие из чисел ±1, ±2, ±4, ±8 являются рациональными корнями, можно использовать схему Горнера, а можно непосредственно проверить, будет ли f(±1) = 0, f(±2) = 0,

f(±4) = 0, f(±8) = 0.

	-2		-10	-4
	-1		-4	-8
				-6
-1	-2		-8
-1	-3	-1	-7 ¹ 0
			8 ¹ 0
-2	-4	-16	24 ¹ 0
			166 ¹ 0
-4	-6	…	¹ 0
		…	¹ 0
-8	-10	…	-¹ 0

Итак, f(x) = (x - l)(x + l)(x⁴- 2x³+ 2x²+ 4x - 8) над полем Q.

Чтобы найти разложение над полями R и С, нужно найти действительные и комплексные корни этого многочлена, для этого надо решить уравнение четвертой степени х⁴- 2х³+ 2х²+ 4х - 8 = 0.

Для решения уравнений 4-ой степени разработан частный метод Феррари.

1-й шаг. Оставляем в левой части равенства члены 4-ой и 3-ей степени, остальные переносим в правую часть, получим:

х⁴- 2х³= -2х²- 4х + 8

2-й шаг. Дополняем левую часть равенства до полного квадрата: х⁴- 2х³+ х²= х²- 2х²- 4х + 8

(х²- х)²= -х²- 4х + 8

3-й шаг. Вводим новую переменную (у) и дополняем левую часть еще раз до полного квадрата, получим:

(х²- х)²+2(х²- x)у + у²= -х²- 4х + 8 + 2(х²- х)у + y²

[(x²-x)+y)]² = (2y-1)x²+(-2y-4)x+(y²+8) *

4-й шаг. Потребуем, чтобы правая часть также стала полным квадратом, для этого D = В² - 4АС = О

D=(-2y - 4)²- 4(2y - l)(y²+ 8) = 0

у³- у²+ 6у – 6 = 0

Это уравнение имеет рациональный корень у₀= 1.

5-й шаг. Подставим у₀ в правую и левую части уравнения (*) вместо у. Получим: (х²-х+1)² = х²-6х+9 = (х-3)² Û

x₃= -Ö2, x₄= Ö2

Итак, многочлен f(x) над полем С может быть представлен в виде: f(х) = (х - 1)(х + 1)(х + Ö2)(х - Ö2)(x - 1- iÖ3)(x - 1 + iÖ3)

Для того, чтобы найти разложение многочлена над полем R, нужно перемножить две последние скобки, тогда:

f(х) = (х - 1)(х + 1)(х + Ö2)(x - Ö2)((х - 1)² + 3).

Задача 2. Разложить многочлен f(x) = х⁴ - 2х³ - 6х² - 4х - 1

Решение.

Так как многочлен 4-ой степени, то можно методом Феррари сразу искать его действительные и комплексные корни, а можно как и в первом случае, найти сначала рациональные корни (если они есть).

Так как а_n = 1, то многочлен может иметь в качестве рациональных корней целые числа, которые являются делителями свободного члена а₀ = 1, т.е. ±1. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что (-1) является корнем, а (1) нет, т.к. f(-l) = 0, f(l) ¹ 0.

Тогда, f(x) = (х + 1)(х³ - 3х² - 3х - 1) над полем Q.

Теперь найдем корни многочлена в поле С и R.

Для этого решим уравнение:

х³ - 3х² - 3х - 1 = 0.

Это уравнение 3-ей степени, для таких уравнений также существует частный метод решения - метод Кардано.

1- й шаг. Приведем уравнение к виду, не содержащему второй степени неизвестного. Для этого введем подстановку где (а) коэффициент при х².

Тогда, (у + 1)³ - 3(у + 1)² - 3(у + 1) – 1 = 0. Раскрыв скобки и приведя подобные, получим: у³ - 6у - 6 = 0.

2-й шаг. Полагаем, что у = a + b, где , р - коэффициент при у, q - свободный член.

В нашем случае р = -6, q = -6 Поэтому тогда .

Тогда, ,

Наконец, находим (х) из формулы х = у + 1

Тогда, f(x) = (x + l)(x – x₁)(x - x₂)(x - x₃) - разложение многочлена над полем С.

Для нахождения разложения многочлена f(x) над полем действительных чисел R достаточно в полученном выше разложении перемножить скобки, соответствующие сопряженным комплексным корням.

Тогда: над полем R.

Замечание 2. Если дан многочлен f(х), степень которого выше четвертой, причем он не имеет рациональных корней, то задача разложения многочлена f(x) на неприводимые многочлены над полем С и R становится трудноразрешимой, т.к. общих методов решения уравнений n-ой степени, где n > 4 не существует.

Существуют различные методы приближенного вычисления действительных корней многочлена f(x) (метод хорд, метод касательных и т.п.)

Замечание 3. В том случае, когда нужно найти сумму корней многочлена f(x), могут быть использованы формулы Виета, которые устанавливают зависимость между корнями и коэффициентами многочлена.

Выведем эти формулы:

Пусть f(z) = zⁿ+ c₁zⁿ^-1+ c₂zⁿ^-2 +...+ c_n_-1z + c_n и a₁, a₂,…, a_n корни этого многочлена в поле С, тогда zⁿ+ c₁zⁿ^-1+ c₂zⁿ^-2 +... + c_n_-1z + c_n = (z - a₁)(z - a₂)...(z - a_n) = = zⁿ– (a₁+ a₂+…+ a_n)zⁿ^-1+ (a₁a₂+ a₁a₃+…+ a_n_-1a_n)zⁿ^-2+…+ +(-1)ⁿ(a₁a₂…a_n)