Практическое занятие №1

Алгебры, подалгебры, гомоморфизмы алгебр.

1. Выяснить, является ли алгеброй декартов квадрат R²=RхR относительно операции "сложения" его элементов (а, b) + (с, d) = (а + с, b + d).

2. Проверить, образует ли алгебру множество радиус-векторов, расположенных в первой четверти координатной плоскости, относительно операций:

а) сложения векторов плоскости;

б) вычитания векторов плоскости.

3. Является ли алгеброй множество N относительно следующих действий:

а) а*b = а² - 2ab + b²;

б) a*b = a²-b².

4. Является ли алгеброй множество Z относительно следующих действий:

а) а*b = [(а-b)³ - (а+b)³] / 3;

б) a*b=[(a-b)² + (a+b)²]/2.

5. Даны две алгебры <N, •> и <{0,1}, •>. Доказать, что отображение j, заданное по правилу "nÎN, j(n) = 0, при n¹0;

1, при n=1,

является гомоморфизмом данных алгебр. Определить вид гомоморфизма.

6. Является ли гомоморфизмом (и какого вида) отображение j: х®х² алгебры <Q, ×, 1> на себя?

7. Является ли отображение j: х®2х гомоморфизмом (и какого вида) алгебры <Z, +, 1> в алгебру <Z, +, 2>?

8. Выяснить, какое из следующих соответствий является гомоморфизмом алгебры <R, - > на себя и какого вида:

а) j(х) = 2х, г) j(х) = 0,

б) j(х) = х/3 д) j(х) = | х |.

в) j(х) = х², е) j(х)=1.