2015-02-27
487
Пусть на отрезке [ a, b ] задана функция y = f (x). Точки х и 
принадлежат интервалу (a, b). Разность 
называется приращением независимой переменной х в точке , а 
- приращением функции в точке при данном приращении D х (рис. 9).
Пример 1.17. Найти приращения функций y = sin x и 
в точке при приращении аргумента 
.
Находим: 1) 
;
2) 
.
Рис. 9
Определение 1. Функция 
называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и бесконечно малому приращению независимой переменной соответствует бесконечно малое приращение функции D y, т. е.
. (1.4)
Например, функция y = С является непрерывной в любой точке х Î(-¥; +¥), так как 
.
Функция y = х так же является непрерывной в любой точке х Î(-¥; +¥), так как 
.
Преобразуем условие непрерывности (1.4)
.
Так как 
, 
, то 
. Учитывая это, получим
или 
.
Последнее равенство можно записать следующим образом:
.
Таким образом, если функция непрерывная, то предел от функции равен функции от предела независимой переменной, т. е. можно переходить к пределу под знаком непрерывной функции.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и предел функции в этой точке равен значению функции в предельной точке, т. е.
. (1.5)
Определение 3. Функция называется непрерывной на отрезке [ a, b ], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонние пределы функции в граничных точках равны значениям функции в этих точках, т. е. 
, 
.
