2015-02-27
1504
Пятиконечная звезда – пентаграмма – всегда привлекала внимание людей совершенст- вом формы. Пифагорейцы именно её выбрали символом своего союза. Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход, боль - ной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пяти - конечную звезду, объ - яснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через рез некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспра- шивать хозяина дома о том, каким образом она появились у входа. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его. Пентаграмма также считалась символом здоровья.
Чем же она привлекательна?
Дело в том, что в этой фигуре наблюдается удивительное постоянство отношений золо- того сечения составляющих её отрезков. Посмотрим на рис. 6; трудно поверить, но АD: АС = АС: СD = АВ: ВС = АD: АЕ = АЕ: ЕС… Пользуясь симметрией звезды, этот ряд равенств можно ещё долго продолжать.
|
|
|
Рис. 6. Пятиконечная звезда – пентаграмма.
В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «зо - лотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с нату- ры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустар- ников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому можно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.
Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник (рис.7-а). Способ его построения разработал Альбрехт Дюрер (1471 – 1528). Пусть О – центр окруж - ности, А – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок СЕ = ЕD. Длина стороны вписанного в окружность правиль - ного пятиугольника равна DС. Откладываем на окружности отрезки DС и получаем пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму (рис. 7-б). Пентаграммой можно пользоваться для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов (рис. 7-б).
7-а 7-б
Рис. 7. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы.
«Золотое» число тесно связано с живой природой. Дело в том, что оно присутствует в телах, имеющих пять осей симметрии, т.е. "пентасистемах". В неживой природе, в крис - таллографии наблюдаются различные кристаллы с любым числом осей симметрии, кроме пяти. Живая материя вся построена по принципу пентасистемы. Наша планета – также пен- тасистема. Это значит, что в живой природе присутствует золотое сечение, при чём оно ярко выражено.
|
|
|
Каждый конец пятиконечной звезды представляет собой «золотой» треугольник. Его стороны образуют угол 36○ при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит её в пропорции золотого сечения. Длины биссектрис углов при его основании равны длине самого основания (рис. 8-б.).
Построим «золотой» треугольник (рис.8-а.). Проводим прямую АВ. От точки А откла - дываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р про- водим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р отклады- ваем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Аd1, получая точку С. Она разделила линию Аd1 в пропорции золо - того сечения.
8-а 8-б
Рис. 8. «Золотой треугольник».
Линиями Аd1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника (рис. 9-а). При этом длина отрезка Аd1 будет равна длине прямоугольника АВ, а длина отрезка dd1 – ширине прямоугольника ВС. Отложив на отрезке АВ отрезок ВС получим точку F, кото - рая разделит отрезок АВ в пропорции золотого сечения. Если от «золотого» прямоугольни- ка отрезать квадрат, то снова выйдет «золотой» прямоугольник, и так можно продолжать до бесконечности. На рис. 9-б. видно, что если провести диагоналипервого и второго пря -моугольника, то точка их пересечения О будет принадлежать всем получаемым «золотым» прямоугольникам.
«Золотые» прямоугольники и треугольники применяются в живописи.
Рис. 9. Рис. 9.
Рис. 9. Золотой прямоугольник.
