В качестве обобщенной координаты выбран угол отклонения от положения равновесия (рис. 7.6). Кинетическая энергия, как и для любой системы с одной степенью свободы, имеет вид: , где инерционный коэффициент зависит в общем случае от координаты. Для получения уравнений малых колебаний, т. е. линейных уравнений, необходимо в разложении оставить только первый член , что равносильно вычислению кинетической энергии в момент, когда система проходит положение равновесия (на рис. 7.6 пунктирные линии).
Кинетическая энергия кривошипа ,
шатуна , диска . Проецируя основную формулу кинематики твердого тела на оси , найдем угловую скорость шатуна и скорость : , и .
Рис. 7.6. Кривошипный механизм |
E |
Кинетическая энергия где
.
Потенциальная энергия
,
где – статические деформации линейной и спиральной пружин в положении равновесия.
Связь между и выражается формулами:
(1)
Для получения уравнений малых колебаний в выражении потенциальной энергии необходимо сохранить члены порядка или, что проще, найти значение Из (1) получим:
;
Дифференцируя потенциальную энергию, получим:
(2)
(3)
Формула (2), выражающая равенство нулю обобщенной силы в положении равновесия, связывает статические деформации. Слагаемые в фигурной скобке в (3) соответствуют «кинематическому» подходу при вычислении перемещений для потенциальной энергии, при котором связь между перемещениями получают «интегрированием» связей между скоростями в момент прохождения системой положения равновесия, т. е. просто убирают знаки производных по времени. В данном примере это означает, что из выражения
следовало бы , что при подстановке в потенциальную энергию привело бы к ошибке в (3). Из (3) следует, что в этой задаче «кинематический» подход является верным только в следующих случаях:
а) ; б) статическая деформация пружины ; в) .
Уравнение малых колебаний имеет вид: , где величину называют обобщенной жесткостью.