Разложение определителя по строке (столбцу)

ОПР. Минором элемента называется определитель, полученный вычеркиванием строки и столбца исходного элемента, обозначается

, то , .

ПР.

ОПР. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор , взятый со знаком «+», если (i+j) – четное число, и со знаком «-», если (i+j) – нечетное число. Обозначается ,

ПР. , .

Теорема Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения

ПР. Рассмотрим разложение определителя третьего порядка по первой строке

ПР. Найти определитель матрицы при помощи разложения по строке .

Найдем определитель разложением по первой строке:

.

Найдем определитель разложением по второму столбцу:

.

3. Ранг матрицы [01]

ОПР. Рангом матрицы А называется наибольший порядок ее миноров не равных нулю.

.

ОПР. Матрицы называются эквивалентными, если .

Обозначается .

Для нахождения ранга матрицы рассмотрим метод элементарных преобразований

Элементарные преобразования матрицы:

1. перестановка местами двух строк (столбцов) матрицы
2. умножение всех элементов строки (столбца)на число не равное нулю
3. прибавление к элементам одной строки (столбца)элементов другой строки (столбца)
4. вычеркивание нулевой строки (столбца).

Теорема Любую матрицу при помощи элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Теорема Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк

Метод элементарных преобразований заключается в приведении матрицы к ступенчатому виду, количество ее ненулевых строк будет составлять ранг матрицы.

ПР.

Ненулевых строк 2, следовательно .