Лекция 2: Матрицы и определители
1. Операции над матрицами
2. Определители и их свойства
3. Ранг матрицы
4. Обратная матрица. Матричные уравнения
Операции над матрицами
ОПР. Матрицей, размерности называется прямоугольная таблица чисел
,
- элемент матрицы, - номер строки, - номер столбца, - размерность матрицы.
ОПР. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю, например: .
ОПР. Матрица размерности называется матрицей-строкой или просто строкой, например: .
ОПР. Матрица размерности называется матрицей-столбцом или просто столбцом, например: .
ОПР. Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов . Число называется порядком матрицы, например при :
.
ОПР. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, составленная из чисел , идущая из левого верхнего угла в правый нижний; побочной называется диагональ, идущая из правого верхнего угла в левый нижний:
ОПР. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие выше и ниже главной диагонали равны нулю, например:
|
|
.
ОПР. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, например:
- верхняя треугольная матрица,
- нижняя треугольная матрица.
ОПР. Матрица называется ступенчатой, если все элементы, расположенные ниже главной диагонали равны нулю, например:
.
ОПР. Квадратная матрица с единицами на главной диагонали и нулями выше и ниже ее, называется единичной и обозначается буквой Е, например единичная матрица третьего порядка имеет вид:
.
ОПР. Транспонированием матрицы называется преобразование состоящее в замене строк столбцами с сохранением их номеров, например:
, .
ОПР. Две матрицы равны , если равны их размерности и все соответствующие элементы совпадают, , ; .
ОПР. Суммой двух матриц и одинаковой размерности называется матрица .
ПР. Найти сумму матриц и .
Свойства операции сложения:
· ,
· ,
· ,
· .
ОПР. Произведениемматрицы на число называется матрица , , где ; .
ПР. Умножить матрицу на 3.
.
Свойства операции умножения матрицы на число:
· ,
· ,
· ,
· ,
·
ОПР. Произведениемматриц размерности на матрицу размерности называется матрица размерности ,элементы которой вычисляются по формуле: , где ; .
ЗАМ. Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. .
Получение элемента схематично изображается так:
ПР. Найти произведение матриц , .
ПР. Найти значение матричного многочлена .
.
;
;
;
;
;
;
.
Свойства операции умножения матриц:
|
|
· ,
· ,
· ,
· ,
· ,
· ,
ОПР. Матрицы и называются перестановочными (коммутирующими), если . В общем случае произведение матриц не коммутативно, т.е. .