Решение. В задание 5m=6, ибо переставляются местами всевозможными способами m =6 штук различных цифр: 1,1,1,3,3,5

В задание 5 m =6, ибо переставляются местами всевозможными способами m =6 штук различных цифр: 1,1,1,3,3,5, среди которых есть повторяющиеся (одинаковые). При этом каждой новой перестановке цифр соответствует новый телефонный номер (натуральное число). Поэтому искомое число различных телефонных номеров равно числу различных перестановок с повторениями из m =6 штук элементов, среди которых k ₁=3 одинаковых элементов 1-го типа (цифра 1), k₂=2 одинаковых элементов2-го типа (цифра 3), k₃ =1одинаковых элементов 3 -го типа (цифра 5), равно Р (m; k₁,k₂,..., k_п) = т!/ (k₁! k₂!... k_п!), Р (6; 3, 2, 1) = 6!/(3! 2! 1!)= =60.

Ответ: Р (6; 3, 2, 1) = 60, т. е 60 различных вариантов 6– значных телефонных номеров (6-значных чисел), содержащих цифру 1 трижды, 3 —дважды и 5 — один раз.

Задание 6 ( на число неупорядоченных разбиений с фиксированными размерами частей ).

Сколько всего вариантов разбить группу из пяти человек (из пяти солдат) на три подгруппы — две подгруппы по два человека (по два автоматчики) и одна подгруппа из одного человека (из одного пулеметчика)?

НЕУПОРЯДОЧЕННЫЕ РАЗБИЕНИЯ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Неупорядоченное разбиение n -элементного множества X — это любое семейство { X ₁, X ₂,…, X _k}, где 1≤ k≤п; X ₁, X ₂,…, X _k - непустые попарно непересекающиеся подмножества множества X, объединение которых равно X.

Называем такое разбиение неупорядоченным, так как семейство — это неупорядоченная совокупность.

Пример. Для множества {а,b,с} неупорядоченное разбиение это, например, {{а},{b,с}}. Причем {{а},{b,с}}={{b,с},{а}}.

Для множества с п элементами обозначим через D (n; k ₁, k ₂,…, k _n) число всех таких неупорядоченных разбиений, в которых есть k ₁ подмножеств с одним элементом, k ₂ подмножеств с двумя элементами и т.д., где k ₁≥0, k ₂≥0,…, k _n≥0; k ₁+2 k ₂+…+ n k _n= n.