Порядок решения задач СМО

Задачи массового обслуживания обычно решаются в три этапа.

На первом этапе уточняют задачу и выясняют, относится ли она к задачам массового обслуживания.

На втором этапе задачу формулируют в терминах теории массового обслуживания, уточняют систему массового обслуживания и конкретное содержание потока требований и обслуживающих аппаратов. Для решения задачи необходимо знать характеристики входящего потока и обслуживающей системы. Вопросы сбора и обработки информации изучаются математической статистикой. После проведения хронометражных наблюдений и получения фактических функций распределения устанавливают, каким законам они подчиняются.

Прежде всего, проверяют соответствие входящего потока требований пуассоновскому закону, а времени обслуживания - показательному, так как в этих случаях решение задачи осуществляется наиболее просто.

Проверку соответствия фактического распределения теоретическому (пуассоновскому, показательному, гамма - распределению, нормальному и др.) осуществляют с помощью специальных критериев, называемых критериями согласия. Наиболее распространен критерий согласия Пирсона χ² (хи-квадрат). При проверке по этому критерию определяют меру расхождения фактического распределения от предполагаемого теоретического независимо от типа распределения.

(9.2).

После установления законов распределения входящего потока требований и времени обслуживания на втором этапе с помощью теории массового обслуживания в зависимости от способа организации обслуживающей системы и входящего потока требований (числа обслуживающих каналов, максимального количества требований в системе и др.), а также параметров законов распределения входящего потока требований и времени обслуживания определяют основные характеристики системы.

Для оценки функционирования системы массового обслуживания используют следующие основные ее характеристики:

1. абсолютную пропускную способность системы (количество требований, обслуживаемых системой в единицу времени);

2. относительную пропускную способность системы (отношение количества обслуживаемых требований к их общему количеству, поступившему в систему);

3. средний процент необслуженных требований;

4. среднее время простоя системы из-за отсутствия требований;

5. среднюю длину очереди;

6. среднее время ожидания.

Последние два показателя используют для расчета систем массового обслуживания с ожиданием.

На третьем этапе, используя полученные характеристики систем массового обслуживания и зная необходимые стоимостные данные, находят оптимум решаемой задачи. При этом, так как обычно вариантов немного, используется метод их перебора. В более сложных случаях решается задача целочисленного программирования. Помимо оценки по экономическим показателям выбор варианта организации системы массового обслуживания может осуществляться по требуемому значению одной из ее характеристик.

Рассмотрим простейшую систему массового обслуживания - работу одноканальной системы массового обслуживания с потерями. На примере этой системы покажем основные принципы получения формул для расчета систем массового обслуживания.

На вход системы поступает пуассоновский поток требований с интенсивностью λ, интенсивность обслуживания ν. Требование, поступающее в систему в тот момент, когда обслуживающий канал занят, покидает систему.

Для анализа и расчета показателей СМО определяют вероятности переходов из одного состояния в другое; строят дифференциальные уравнения поведения системы; решают систему дифференциальных уравнений; на основе решения системы получают зависимости для расчета характеристик СМО.

Одноканальная СМО может находиться в двух состояниях:

1)когда в системе нет требований и обслуживающий канал свободен (S₀);2)когда в системе имеется требование и канал занят его обслуживанием (S₁). Из состояния S₀ в S₁ система переходит при поступлении требования, а из состояния S₁ в S₀ - по окончании обслуживания требования.

Обозначим вероятности состояний S₀ и S₁ соответственно P₀ и P₁.

Для одноканальной системы вероятность того, что канал свободен (P₀) соответствует относительной пропускной способности системы, так как требование будет обслужено только в том случае, если в момент его поступления канал свободен.

Итак, относительная пропускная способность:

(9.3),

а абсолютная:

(9.4).

Вероятность отказа:

(9.5).

Допустим система включает n каналов обслуживания. Обозначим через ρ отношение λ/ν, то есть ρ - приведенная интенсивность потока требований, которая характеризует число требований, поступивших в систему за время обслуживания одного.

Вероятность наличия в системе k требований:

(9.6),