Метод Ньютона (касательных)

Пусть уравнение (1) имеет корень на отрезке [ a, b ], причем f '(x) и f "(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем интервале [ a, b ].

Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой y = f (x) заменяется касательной. Для этого выбирается некоторое начальное приближение корня x ₀ на интервале [ a, b ] и проводится касательная в точке C ₀(x ₀, f (x ₀)) к кривой y = f (x) до пересечения с осью абсцисс (рис. 3). Уравнение касательной в точке C ₀ имеет вид

y = f (x ₀) + f '(x ₀)×(x - x ₀).

Далее за приближение корня принимается абсцисса x ₁, для которой y = 0:

Затем проводится касательная через новую точку C ₁(x ₁, f (x ₁)) и определяется точка x ₂ ее пересечения с осью 0 x и т.д. В общем случае формула метода касательных имеет вид:

В результате вычислений получается последовательность приближенных значений x ₁, x ₂,..., x_i,..., каждый последующий член которой ближе к корню x *, чем предыдущий. Итерационный процесс обычно прекращается при выполнении условия (4).

Начальное приближение x ₀ должно удовлетворять условию:

f (x ₀) f ¢¢(x ₀) > 0. (6)

В противном случае сходимость метода Ньютона не гарантируется, так как касательная будет пересекать ось абсцисс в точке, не принадлежащей отрезку [ a, b ]. На практике в качестве начального приближения корня x ₀, обычно выбирается одна из границ интервала [ a, b ], т.е. x ₀ = a или x ₀ = b, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной.

Метод Ньютона обеспечивает высокую скорость сходимости при решении уравнений, для которых значение модуля производной ½ f ¢(x)½вблизи корня достаточно велико, т.е. график функции y = f (x) в окрестности корня имеет большую крутизну. Если кривая y = f (x) в интервале [ a, b ] почти горизонтальна, то применять метод касательных не рекомендуется.

Существенным недостатком рассмотренного метода является необходимость вычисления производных функции для организации итерационного процесса. Если значение f ¢(x) мало изменяется на интервале [ a, b ], то для упрощения вычислений можно пользоваться формулой

, (7)

т.е. значение производной достаточно вычислить только один раз в начальной точке. Геометрически это означает, что касательные в точках C_i (x_i, f (x _i)), где
i = 1, 2,..., заменяется прямыми, параллельными касательной, проведенной к кривой y = f (x) в начальной точке C ₀(x ₀, f (x ₀)), как это показано на рис. 4.

В заключение необходимо отметить, что все изложенное справедливо в том случае, когда начальное приближение x ₀ выбрано достаточно близким к истинному корню x * уравнения. Однако это не всегда просто осуществимо. Поэтому метод Ньютона часто используется на завершающей стадии решения уравнений после работы какого-либо надежно сходящегося алгоритма, например, метода половинного деления.