1. Методы Эйлера численного решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
Метод численного решения дифференциального уравнения первого порядка
(1)
с начальным условием основан на разложении решения в ряд Тейлора в -окрестности точки :
При отбрасывании всех членов ряда, содержащих производные второго и высших порядков получим: , где -правая часть уравнения (1).
Пользуясь значением из разложения в - окрестности точки получим
(2)
Аналогично продолжая для следующей точки , получим
(3)
Если дано уравнение второго порядка
(4)
с начальными условиями и , то как такое уравне- ние можно свести к системе двух уравнений первого порядка
, (5)
причем и .
Тогда приближенные значения функций и в точке можно высислить по формулам
, (6)
где - правая часть уравнения (4).
При достаточно малой величине шага метод Эйлера дает решение с большой точностью, т.к. погрешность решения близка к .
2. Методы Рунге-Кутта численного решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
|
|
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием .
Последовательные значения искомой функции определяются по формуле
где ,
- коэффициенты, которые вычисляются по формулам
где - шаг интегрирования;
- правая часть дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной.
Если дано уравнение второго порядка с начальными условиями и , то как такое уравне- ние можно свести к системе двух уравнений первого порядка
,
причем и .
Тогда приближенные значения функций и можно вычис- лить по формулам
,
где - коэффициенты вычисляемые по формулам
,
где - шаг интегрирования;
- правая часть дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной.
Метод Рунге-Кутта применим также для приближенного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, применяя формулы для каждого уравнения в отдельности. При этом погрешность интегрирования - есть величина порядка .