Задача о составе смеси

В металлургической, химической, нефтеперерабатывающей, сельскохозяйственной и других отраслях составляются различные смеси, которые должны удовлетворять определенным требованиям.

Имеется n продуктов, обозначаемых P₁, …, P_j, …, P_n, стоимостью соответственно c ₁, …, c_j, …, c_n, и каждый из продуктов содержит m одинаковых компонентов, но в разных пропорциях, как приведено в таблице.

1 … i … m
b1 … bi … bm

Из этих продуктов необходимо составить смесь, чтобы она содержала 1-й компоненты не менее b₁ , …, m -й компоненты не менее b_m. Это будут условия, предъявляемые к смеси, и, следовательно, ограничения в модели. Требуется так составить смесь, чтобы при соблюдении условий она имела минимальную стоимость, что для модели будет целью.

Во-первых, выбираются управляемые переменные. Обозначим количество продуктов P₁, …, P_j, …, P_n, входящих в состав смеси, соответственно x₁, …, x_j, …, x_n, что и будет управляемыми переменными. Тогда общая стоимость смеси будет определяться соотношением, которое и необходимо минимизировать для выполнения цели:

. (3.1)

Условия составления смеси в математической форме запишутся по каждой из компонент в виде

(3.2)

Это и есть ограничения, накладываемые на решение.

Поэтому задача может быть сформулирована следующим образом: выбрать такие неотрицательные значения переменных x₁, …, x_j, …, x_n, удовлетворяющие

, (3.3)

при которых линейная функция этих переменных обращается в минимум

. (3.4)

Переменные модели по смыслу задачи не могут принимать отрицательные значения, поэтому дополнительно накладывается условие неотрицательности решения

.