Пусть в области , в которой определена функция , в некоторой внутренней точке задано направление вектором (см. рис.8). Нас интересует поведение функции при движении точки в этом направлении. Пусть расстояние между точками и , а – единичный вектор заданного направления . Тогда координаты точки равны: . Если точка стремится к точке в заданном направлении, то .
Производной функции в точке в заданном направлении называется предел
.
В частности, частные производные это производные по направлению координатных осей и соответственно. Оказывается, что для функции, имеющей непрерывные частные производные, производная по направлению выражается через частные производные в данной точке. Чтобы это доказать, нам необходимо научиться находить частные производные сложных функций.
Производная характеризует скорость изменения функции в направлении .
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то производная по направлению в точке определяется формулой
,(1)
где – единичный вектор заданного направления
|
|
Замечание. Если направление задано вектором , то производная функции по направлению может быть подсчитана по формуле
. (2)
Пример. Найти производную от функции в точке М (1,2) в направлении, составляющим с осью угол в .
Решение. Направление задано углом наклона к оси , поэтому воспользуемся формулой (1).
, ,
, ,
Пример. Найти производную от функции в точке М (1;2) найти производную по направлению .
Решение. Направление задано координатами вектора , поэтому воспользуемся формулой (2).
, ,
, ,
.
Рассмотрим понятие градиента функции .
Градиентом функции называется вектор с координатами .