Дифференциалом дифференцируемой в точке функции называется главная линейная часть полного приращения этой функции в точке , то есть
. (1)
Если положить , то , то есть . Аналогично, полагая , получим, что . Таким образом, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, то есть
. (2)
Геометрический смысл дифференциала: если полное приращение функции представляет геометрически приращение аппликаты поверхности , то дифференциал функции есть приращение аппликаты касательной плоскости к поверхности в данной точке, когда переменные и получают приращения и (см. рис.7).
Напомним, что если функция дифференцируема в точке , то ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
(3)
Из соотношений (2) и (3) следует, что при достаточно малых и имеет место приближенное равенство . Отсюда получаем формулу приближенных вычислений:
(4)
Пример. Вычислить приближенно .
Решение. Рассмотрим функцию . Тогда , где . . Воспользуемся формулой (4), предварительно найдя и :
|
|
, ,
, .
Следовательно, .
Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим: .