Упражнение 1. Бросают две кости. Найти вероятность выпадения 10 очков

Решение. В данном случае число всех исходов равно 6². Благоприятные исходы: (4,6), (5,5), (6,4). Отсюда вероятность равна p=3/36=1/12.

Определение 3. Размещением называется произвольная инъекция

f: {x₁, x₂, ×××, x_m} ® { y₁,y₂, ×××,y_n }.

(В каждый ящик размещают не более одного предмета.)

Теорема 1. Число размещений равно .

Доказательство. Первый предмет можно разместить n способами, второй – n-1, ×××, m- й – n-m+1. Получаем .

Упражение 2. В группе m студентов. Найти вероятность того, что найдется два студента, родившиеся в один день.

Решение. Число всех вариантов 365^m. Число неблагоприятных вариантов равно , где n=365. Получаем . Ниже приводится таблица значений вероятности при различных m:

Например, если число студентов равно 23, то вероятность равна примерно 0.5

Определение 3. Пусть заданы m ящиков. Упорядоченным размещении-ем предметов a₁, a₂, ×××, a_n называется указание последовательности предметов для каждого ящика, при котором каждый предмет участвует ровно один раз.

Пример 1. На рисунке 2.1 показаны упорядоченные размещения предметов a, b по трем ящикам.

Рис. 2.1. Упорядоченные размещения

Сначала размещается буква a в первый ящик и одним из четырех способов размещается b. Потом буква a размещается во второй ящик, в этом случае снова b размещается одним из четырех способов. Затем буква a размещается в третий ящик, буква b размещается одним из четырех способов. Всего получаем 12 упорядоченных размещений.

Теорема 2. Число [m]ⁿ упорядоченных размещений n предметов в m ящиков равно m(m+1) ∙ ∙ ∙ (m+n-1).

Доказательство. После размещения первого предмета в таблицу одним из m способов

второй предмет может быть размещен одним из m+1 способов. Предположим, что уже размещено i-1 предметов, и пусть при k=1, 2, …, m в k -м ящике находится r_k объектов. Тогда i -й объект может быть добавлен одним из (r₁ +1) + (r₂ +1) + ∙ ∙ ∙ + (r_m +1) = i-1+m способов. Отсюда число всех упорядоченных размещений будет равно m(m+1) ∙ ∙ ∙ (n-1+ m).