Логическое следование (импликация)

Логическое следование (импликация) от латинского implico - тесно связываю.

В наших рассуждениях, особенно в математических доказательствах, мы часто пользуемся сложными высказываниями, образованными с помощью слов "если..., то...". Здесь высказывание, расположенное после слова "если", называется основанием или посылкой, а высказывание, расположенное после слова "то", называется следствием или заключением.

Рассмотрим пример: из арифметики. Вам должно быть известно, что утверждение "если каждое слагаемое делится на 3, то и сумма делится на 3" истинно, т.е. из высказывания "каждое слагаемое делится на 3" следует высказывание "сумма делится на 3". Посмотрим, какие наборы значений истинности посылки и заключения возможны, когда истинно все утверждение. Возьмем, например, в качестве слагаемых числа 6 и 9. В этом случае истинны и посылка, и заключение, и все утверждение. Если же взять числа 4 и 5, то посылка будет ложной, а заключение истинным. Для чисел 4 и 7 и посылка и заключение ложны. (Если Вы сомневаетесь в истинности высказывания для последнего случая попробуйте произнести его в сослагательном наклонении: если бы числа 4 и 7 делились бы на 3, то и их сумма делилась бы на 3). Очевидно, что только один случай невозможен: мы не найдем таких двух слагаемых, чтобы каждое из них делилось на 3, а их сумма не делилась на 3, т.е. чтобы посылка была истинной, а заключение ложным. Из истины не может следовать ложь, иначе логика теряет смысл. Высказывание "Если А, то В" с логической точки зрения имеет тот же смысл, что и высказывание "неверно, что А истинно и В ложно". Это означает, что функцию импликации можно заменить комбинацией двух функций (отрицания и конъюнкции). Обычно, когда мы хотим установить ложность высказывания "Если А, то В ", мы стараемся показать, что возможен случай, когда А истинно, а В ложно (доказательство "от противного"). Обозначим импликацию символом => и запись "А => В" будем читать: "Из А следует В".

Таким образом, импликацией А => В называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно и В ложно.

Запишем это определение в виде таблицы истинности: