Теорема Коши в общем случае

Теорема 26.7. (Интегральная теорема Коши) Пусть функция f (z) дифференцируема в односвязной области D, ограниченной кусочно- гладким контуром g и непрерывна в замкнутый области , тогда интеграл от f (z) по границе Г в области D равен нулю.

(26.9.)

Теорема Коши устанавливает одно из основных свойств аналитической функции комплексной переменной.

Мы рассмотрим теорему для односвязной области. Однако, ее можно обобщить и на случай многосвязной области. В этом случае полная граница области состоит из нескольких замкнутых контуров: Внешнего Г₀ и внутренних C₁, C₂, C_n. Положительным направлением обхода полной границы многосвязной области будем называть такое направление движения, при котором область вся остается слева.

Теорема 26.8. Пусть f(z) является аналитической функцией в многосвязной области D, ограниченной извне контуром Г, изнутри контурами C₁, C₂, C_n, и пусть f(z) непрерывна в замкнутой области . Тогда , где C- полная граница области D, состоящая из контуров C₀ C₁, C₂, C_n, причем обход границы происходит в положительном направлении.

Доказательство: проведем гладкие , соединяющие контур C с контурами C₀ C₁, C₂, C_n. Тогда область, ограниченная кривыми C C₀ C₁, C₂, C_n и , проходимыми дважды в противоположных направлениях, оказывается односвязной.

В силу теоремы 26.7, интеграл по границе равен нулю. Но интегралы по вспомогательным кривым проходят дважды в противоположных направлениях и при суммировании интеграла выпадают. Поэтому имеет место равенство.

Литература:

1.Я.С Бугров, С.М.Никольский «Дифференциальные уравнения, кратные интегралы, ряды».2..Кудрявцев Л. Д. «Курс математического анализа». Том 2. Москва, Высшая школа 1988г..

3. Краснов М.Л. и др. Векторный анализ. – Москва, 1978г.

4. В.В Степанов «Курс дифференциальных уравнений»

5. М.А. Лаврентьев и Б.В. Шабат

«Методы теории функции комплексного переменого». Из-во Наука. 1973 г. 2. 6.И.И.Привалов. «Введение в теорию функции комплексной переменной». Москва. 1977 7.А.А.Юнусов.«Элементы теории функции комплексного переменного». Шымкент.2009.ЮКГУ

8 А.А.Юнусов. «Курс лекции по теория функций». Шымкент.2009.ЮКГУ.

9. Юнусов. А.А. Курс лекций по высшей математике. Шымкент –2003г..ЮКГУ